Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale


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Sana18.02.2018
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Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale

  • Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto materiale

  • Ora considereremo sistemi formati da più punti materiali

  • Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e l’ambiente, dette forze esterne (rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze interne



Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la forza totale agente sul punto

  • Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la forza totale agente sul punto

  • Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne

  • Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o dissipative



Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla

  • Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla

  • Questo e` conseguenza del 3o principio della dinamica: ad una forza agente sul punto i e dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata uguale e opposta alla precedente

  • La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle risultanti e` pure zero



Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica

  • Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica

  • Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del sistema come somma delle grandezze dei punti componenti

    • Massa:
    • QM:
    • Momento angolare:
    • Energia cinetica:


E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da

  • E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita da

  • Attenzione che questa e` un’uguaglianza vettoriale

  • Cio` significa che le coordinate del CM (p.e. in un sistema cartesiano) sono



Calcoliamo la velocita` del CM

  • Calcoliamo la velocita` del CM

  • Ne deriva l’importante teorema: la QM di un sistema e` uguale alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e velocita` vCM



Calcoliamo l’accelerazione del CM

  • Calcoliamo l’accelerazione del CM

  • Ricordiamo la 2a legge della dinamica per il punto generico i

  • e introduciamola nell’equazione precedente



Troviamo

  • Troviamo

  • L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la risultante delle forze interne e` nulla

  • D’altra parte



Abbiamo ottenuto l’importante teorema:

  • Abbiamo ottenuto l’importante teorema:

  • Il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

  • Prima equazione della dinamica dei sistemi

  • O prima equazione cardinale della dinamica



Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti

  • Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli punti



Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole

  • Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità discrete, gli atomi e le molecole

  • Nel volume occupato da un corpo macroscopico, c’è un numero estremamente grande di tali costituenti elementari

  • Si può allora ritenere con buona approssimazione che entro questi corpi la massa sia distribuita con continuità

  • Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo differenziale e integrale

  • Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza



Massa distribuita in un volume

  • Massa distribuita in un volume

    • Densità spaziale
  • Massa distribuita su di una superficie

    • Densità superficiale
  • Massa distribuita lungo una linea

    • Densità lineare
  • Dimensioni della densità



Viceversa si può trovare la massa:

  • Viceversa si può trovare la massa:

    • in un volume V
    • su di una superficie S
    • lungo una linea L


Riprendiamo la definizione di CM

  • Riprendiamo la definizione di CM

  • Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera` sostituire le sommatorie con integrali e le masse elementari con masse infinitesime



Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo

  • Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo

  • Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi

  • Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a integrali puramente geometrici



Cerchiamo il CM di un corpo non connesso

  • Cerchiamo il CM di un corpo non connesso



La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2

  • La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda quella del corpo 2

  • Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi



Siano M e m le masse

  • Siano M e m le masse

  • Prendiamo come origine la posizione di uno dei due corpi (l’1 p.e.) allora r1=0

  • Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua distanza da essi e` inversamente proporzionale alle loro masse



Detto



Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sull’asse o sul piano, rispettivamente

  • Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un piano, il CM giace nel punto, sull’asse o sul piano, rispettivamente

  • Se esistono piu` assi o piani di simmetria, il CM si trova nella loro intersezione



Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi , la QM si conserva

  • Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante nulla, e quindi , la QM si conserva

  • In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme

  • Attenzione: la QM dei singoli punti puo` cambiare nel tempo, e` la loro somma che rimane costante



La legge

  • La legge

  • E` una legge vettoriale, per cui puo` accadere che la risultante delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due componenti nulle

  • In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti



La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso

  • La conservazione della QM permette di definire la massa dinamicamente, senza riferimento al peso

  • Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una molla compressa di massa trascurabile che li collega

  • Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia, poiche’ l’unica forza in gioco, quella della molla, e` interna al sistema



Quando la molla ha finito di espandersi

  • Quando la molla ha finito di espandersi

  • Passando ai moduli

  • Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque, rispetto ad un corpo campione, attraverso misure di velocita`



Analizzando l’urto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione dell’altro

  • Analizzando l’urto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di uno e` in rapporto costante con la variazione dell’altro



Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa trascurabile)

  • Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione, ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa trascurabile)



In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione

  • In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore e non dipende dal tipo di interazione

  • k12 dipende solo dalla coppia di punti

  • (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno opposto, il segno negativo serve per rendere k12 positiva)



Se si assegna arbitrariamente una massa m1 ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro puo` quindi essere definita con riferimento al primo

  • Se si assegna arbitrariamente una massa m1 ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro puo` quindi essere definita con riferimento al primo

  • Sostituendo nella relazione precedente abbiamo un modo operativo di misura della massa inerziale



Supponiamo di essere in un sistema inerziale

  • Supponiamo di essere in un sistema inerziale

  • Il momento angolare totale di un sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

  • Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro polo Q



In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo muoversi di moto arbitrario

  • In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo questo muoversi di moto arbitrario



Il calcolo del momento da`

  • Il calcolo del momento da`

  • Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non sia nulla



Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

  • Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`

  • Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo trovare come cambia il momento delle forze se lo calcoliamo rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q



L’espressione del momento delle forze rispetto a Q e`

  • L’espressione del momento delle forze rispetto a Q e`

  • Il calcolo da`

  • Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia nulla, il momento dipende dal polo



Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non agenti sulla stessa retta)

  • Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e opposte (non agenti sulla stessa retta)

  • In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente dal polo scelto



Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r12

  • Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano individuato dalle forze e dal vettore r12

  • Il modulo e`

  • Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le rette d’azione delle due forze



Approfondiamo l’argomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto

  • Approfondiamo l’argomento considerando il momento delle forze interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico, fisso o in moto

  • Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento delle forze interne



Gli addendi della sommatoria

  • Gli addendi della sommatoria

  • si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3o principio della dinamica

  • Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e`



La differenza dei raggi vettori ha la direzione della congiungente i due punti e poiche’ anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue

  • La differenza dei raggi vettori ha la direzione della congiungente i due punti e poiche’ anche le forze di interazione hanno questa direzione, ne segue

  • Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti nulli



Visto in altro modo, abbiamo l’importante risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle forze esterne

  • Visto in altro modo, abbiamo l’importante risultato che, per un polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento delle forze esterne

  • Questo deriva da due proprieta` della 3a legge della dinamica:

    • Le forze di interazione sono uguali ed opposte
    • Le forze hanno la stessa retta d’azione


Sia u il versore che individua la direzione delle forze

  • Sia u il versore che individua la direzione delle forze

  • La risultante delle forze risulta parallela a u

  • Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O



Introduciamo il centro delle forze parallele

  • Introduciamo il centro delle forze parallele

  • Si dimostra facilmente che la posizione del centro non dipende dal polo scelto

  • Per il momento di forza otteniamo dunque

  • Questo significa che un sistema di forze parallele e` equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di forza



Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e`

  • Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun elemento del corpo e`

  • Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e coincide con il CM

  • La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto



Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e`

  • Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e`

  • ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo



Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F

  • Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi, non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante delle forze F

  • C’e` bisogno di introdurre anche il vettore risultante dei momenti di forza

  • Detto in altro modo i vettori F e sono indipendenti fra loro



Vale il seguente risultato, che non dimostreremo

  • Vale il seguente risultato, che non dimostreremo

  • Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi) e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la cui retta d’azione passi per il polo e ad una coppia di momento uguale al risultante dei momenti rispetto al polo




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