Fizika-matematika fakulteti analitik geometriya fannidan

rangU n	ga teng.	A (ak^j ) va
~
A
operatorni	{e }	va	~
			{ek } bazislardagi matritsalari bo`lsin
	i
Bu matritsalar orasidagi munosabatni topamiz.
3-teorema.	A operatorni {e }			~	bazislardagi
				va {ek }
			i
matritsalari orasida
	A		~
		U ^1AU

~ j	)	matritsalar A
(ak

j	)	va	~	~ j	)
A (ak			A	(ak

(6)

munosabat mavjud.

~	formulani ikkala tomonini o`ngdan U 1 va chapdan U	ga ko`paytirib,
A U^1AU

quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

~	UAU ^1
A

A va B n tartibli kvadrat matritsalar. A va B operatorlari bo`lsin. U holda A B matritsaga keladi.

Yuqoridagi teoremadan

~

det A det A

(7)

lar {e_i } bazisdagi ularni mos A B chiziqli operator mos

kelib chiqadi.

Shunday qilib, chiziqli operatorning matritsasini determinanti bazisni tanlab olishga bog`liq emas. Shu sababli А chiziqli operatorning determinanti det A tushunchasini kiritish mumkin,

det A A
A - A operatorning ixtiyoriy bazisdagi matritsasi.

2.3.Chiziqli operatorning xarakteristik ko`phadi.

L(V ,V ) dagi А chiziqli operator, I esa aynan operator bo`lsin. 1-ta`rif. ga nisbatan ko`phad bo`lgan

det( A I )

1. 
   operatorning xarakteristik ko`phadi deyiladi.
   

26

22. 
    fazoda {e_k } bazis berilgan va A (a_k^j ) A operatorning bu bazisdagi
    

matritsasi bo`lsin. U holda A operatorning xarakteristik ko`phadi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

		a1	a 2	...	a n
		1	1		1
		a^1	a ^2	...	a ^n
det( A	I )	2	2		2	.
		...	...	...	...
		a^1	a ^n	...	a ^n
		n	2		n

Xarakteristik ko`phadning	k	oldidagi koeffisientini dk	orqali belgilab uni
quyidagicha yozamiz:

det( A I )

n


d_k ^k .

11. 
    0
    

Shunday qilib, det( A I ) determinant qiymati bazisni tanlab olishga bog`liq emas, u holda xarakteristik ko`phadning d_k koeffisientlari bazisni tanlab olishga bog`liq emas, ular invariantlar bo`ladi, ya`ni ular bazisni tanlab olishga bog`liq bo`lmagan miqtorlar.

Xususan,	d	n 1	a^1	a^2	... a^n invariant bo`ladi. Bu invariant A operatorning
			1	2	n
izi deyiladi va trA orqali belgilanadi:
					trA	a^1	a^2	... a^n .
						1	2	n
det( A	I )		0 tenglama A operatorning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
	Chiziqli operatorlarning xos qiymatlari va xos vektorlari.
V1 n o`lchovli				V	chiziqli	fazoning		qism fazosi va A	L(V ,V ) dagi
chiziqli operator bo`lsin.
2-ta`rif. V1	A operatorning invariant qism fazosi deyiladi, agarda V1								tegishli barcha

10. 
    elementlar uchun Ax element ham V₁ da yotsa.
    

A operatorning invariant qism fazolariga ker A va imA qism fazolar misol bo`la oladi.

3-ta`rif. son A operatorning xos qiymati deyiladi, agarda shunday noldan farqli

Axx

(1)

27

tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo`lsa. Bu x element A

operatorning xos vektori deyiladi.

1-teorema. son A operatorning xos qiymati bo`lishi uchun uning

det( A I ) 0

xarakteristik tenglamasini ildizi bo`lishi zarur va etarli.

Isboti. А operatorning xos qiymati va x bu songa mos (x 0) xos vector bo`lsin. (1) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz:

			( AI )x		0.
Shunday qilib, x noldan farqli			element va		oxirgi	tenglikdan		ker( A	I )	0
kelib chiqadi, ya`ni
dim(ker( A		I ))	1.							(2)
Ma`lumki,
dim(im( A		I )) dim(ker( A			I ))	n,
bu tenglikdan va (2) tengsizlikdan
dim(im( AI ))			n	1						(3)
kelib chiqadi.
Ta`rifdan dim(im( A	I ))	A	I	operator rangiga			teng.	Shu sababli		(3)
tengsizlikdan
	rang( A	I )	n							(4)
kelib chiqadi.
Shunday qilib, agar	xos qiymat bo`lsa, u holda