(-l,l) kesmada aniqlangan f(x) funksiya Dirixle teoramasi shartlarini
qanoatlantirsa, u holda
(55)
ko’rinishdagi Fur’e qatori vositasida har tomonlama o’rganish mumkinligini ko’rgan edik. (21) qator koeffisientlari
(56)
formulalar bilan hisoblanadi. Dirixle teoremasiga asosan (21) qatorning yig’indisi (-l,l) ga tegishli istalgan x uchun ushbu
(57)
tenglikni qanoatlantiradi.
Soddalik uchun dastavval f(x) ni (-l,l) da Dirixle teoremasi shartlarini
qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiya deb faraz qilamiz. U holda (23) tenglikning
o’ng tomoni istalgan -luchun f(x) ga t eng bo’ladi, ya’ni istalganda katta
chekli (-l,l) dagi o’zgarish qonuniyatini uning mos Furye qatori vositasida to’liq
o’rgana olamiz. Ammo l chekli ortga borib, masala ancha
murakkablashadi va ushbu
(58)
Shunday qilib, xos qiymatlar to’g’risidagi quyidagi masalaga keldik:
parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda (56)
tenglamaning (57) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan
yechimi mavjud bo’lsin.
(56), (57) masalaning trivial bo’lmagan yechimlari mavjud bo’lgan
ning qiymatlari xos qiymatlar (sonlar), bu qiymatlarga mos yechimlar esa xos
funksiyalar deyiladi. Barcha xos qiymatlar to’plamini berilgan masalaning spektrideb ataladi.
(56), (57) masala xos funksiyalari va xos qiymatlarining asosiy
xossalarini keltiramiz.
1) Masala xos qiymatlarining cheksiz
to’plami mavjuddir.
2) Har bir xos qiymatga o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida xos
funksiya mos keladi, ya’ni ga ikkita xos funksiyalar mos
kelsa, u holda bo’ladi, bu yerda C-o’zgarmas son.
Haqiqatdan ham X k (x) va X k (x) funksiyalar farazimizga asosan
(59)
va shartlarni qanoatlantiradi, u holda (56) tenglama X k (x) va X k (x)
yechimlarining Bronskiy determinant
(60)
x=0 nuqtada nolga teng bo’ladi. Demak, X k (x) va X k funksiyalar chiziqli
bo’g’liq.
Yuqorida aytib o’tilgan ko’paytuvchini shunday tanlab olamizki,
(61)
(5.8) shartni qanoatlantiruvchi xos funksiyalar normallangan deyiladi.
3) Turli xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar [0,l] kesmada
X(x)vazn bilan ortogonal bo’ladi, ya’ni
(62)
Haqiqatdan ham, X k (x) va X m (x) funksiyalar Xk , Xm xos qiymatlarga
mos xos funksiyalar bo’lgani uchun (56) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni
(63)
bo’ladi.
Agar (62) qator va uni x, t bo’yicha ikki marta hadlab differensiallash
natijasida hosil bo’lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, an va bn
koeffisientlarning topilgan qiymatlarini (62) qatorga qo’yib (61), (62), (63)
aralash masalaning yechimini topamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
