Fizikani o’qitish metodikasidan” kurs ishi mavzu: mexanika boʻlimlarini oʻqitish metodikasi t oshkent 2022 mundarija

2.3. Laboratoriya ishida Matematik mayatnik: davr, tezlanish va formulalar

Zamonaviy meteorologiyaning muhim muammolari qatoriga tebranishlar nazariyasining (ayniqsa, chiziqli bo'lmaganlar), qattiq jismlar dinamikasining, harakatning barqarorligi nazariyasining, shuningdek, o'zgaruvchan massali jismlarning meteorologiyasining va fazo dinamikasining allaqachon qayd etilgan muammolari kiradi. parvozlar. Matematikaning barcha sohalarida muammolar tobora muhim ahamiyat kasb etmoqda, ularda "deterministik", ya'ni oldindan ma'lum bo'lgan miqdorlar (masalan, ta'sir qiluvchi kuchlar yoki alohida ob'ektlarning harakat qonunlari) o'rniga "ehtimollik" deb hisoblash kerak. miqdorlar, ya'ni faqat ma'lum qiymatlarga ega bo'lish ehtimoli ma'lum bo'lgan miqdorlar. Uzluksiz muhit mexanikasida makrozarrachalarning shakli o'zgargandagi xatti-harakatlarini o'rganish muammosi juda dolzarb bo'lib, bu suyuqliklarning turbulent oqimlarining yanada qat'iy nazariyasini ishlab chiqish, plastiklik va emirilish muammolarini hal qilish bilan bog'liq. , va qattiq jismlarning mustahkamligi va sinishining asoslangan nazariyasini yaratish.

Bu mayatnikning tebranish davri formulasi golland olimi Gyuygens (1629-1695) tomonidan chiqarilgan. I. Nyutonning bu zamondoshi bu mexanik tizimni juda yaxshi ko'rardi. 1656 yilda u mayatnik mexanizmiga ega birinchi soatni yaratdi. Ular vaqtni o'sha vaqtlar uchun istisno tariqasida aniqlik bilan o'lchadilar. Ushbu ixtiro jismoniy tajribalar va amaliy faoliyatni rivojlantirishda muhim bosqich bo'ldi.
Agar mayatnik muvozanat holatida (vertikal osilgan) bo'lsa, tortishish kuchi ipning tarangligi bilan muvozanatlanadi. Uzatmas ip ustidagi tekis mayatnik - bu bog'langan ikki darajadagi erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizim. Faqat bitta komponentni o'zgartirganda, uning barcha qismlarining xususiyatlari o'zgaradi. Shunday qilib, agar ip novda bilan almashtirilsa, unda bu mexanik tizim faqat 1 daraja erkinlikka ega bo'ladi. Matematik mayatnik qanday xossalarga ega? Bu eng oddiy tizimda davriy bezovtalanish ta'sirida tartibsizlik paydo bo'ladi. Agar osma nuqtasi harakatlanmay, balki tebransa, mayatnikda yangi muvozanat holati paydo bo'ladi. Yuqoriga va pastga tez tebranishlar bilan bu mexanik tizim "teskari" barqaror holatga ega bo'ladi. Uning ham o'z nomi bor. U Kapitsa mayatnik deb ataladi.
Mayatnikning xossalari

Matematik mayatnik juda qiziqarli xususiyatlarga ega. Ularning barchasi ma'lum fizik qonunlar bilan tasdiqlangan. Boshqa har qanday mayatnikning tebranish davri turli holatlarga, masalan, tananing o'lchami va shakliga, osma nuqtasi va og'irlik markazi orasidagi masofa va berilgan nuqtaga nisbatan massa taqsimotiga bog'liq. Shuning uchun osilgan tananing davrini aniqlash juda qiyin. Matematik mayatnikning davrini hisoblash ancha oson, uning formulasi quyida keltirilgan. Bunday mexanik tizimlarni kuzatish natijasida bunday qonuniyatlarni o'rnatish mumkin:
Agar mayatnik uzunligi bir xil bo'lgan holda, turli yuklarni to'xtatib tursa, ularning massalari juda katta farq qilsa-da, ularning tebranish davri bir xil bo'ladi. Binobarin, bunday mayatnikning muddati yukning massasiga bog'liq emas.
Agar siz mayatnikni juda katta emas, balki turli burchaklarga aylantirsangiz, u bir xil davr bilan, lekin turli amplitudalarda tebranishni boshlaydi. Muvozanat markazidan og'ishlar unchalik katta bo'lmasa-da, ularning shaklidagi tebranishlar garmonikga juda yaqin bo'ladi. Bunday mayatnikning davri tebranish amplitudasiga bog'liq emas. Ushbu mexanik tizimning bu xususiyati izoxronizm deb ataladi (yunoncha tarjimada "xronos" - vaqt, "isos" - teng).
Matematik mayatnikning davri
Bu ko'rsatkich davriy tabiiy tebranishlarni ifodalaydi. Murakkab formulaga qaramay, jarayonning o'zi juda oddiy. Agar matematik mayatnik ipining uzunligi L va tortishish tezlanishi g bo'lsa, bu qiymat quyidagilarga teng bo'ladi:
T = 2π√L / g
K ichik tabiiy tebranishlar davri hech qanday o'lchovda mayatnik massasiga va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas. Bunda mayatnik berilgan uzunlikdagi matematik mayatnik sifatida harakat qiladi.
Matematik mayatnikning tebranishi
The mathematical pendulum oscillates, which can be described by a simple differential equation:
x + ω2 sin x = 0,
bu erda x (t) noma'lum funktsiya (bu t vaqtida pastki muvozanat holatidan burchak og'ishi, radianlarda ifodalangan); ω musbat doimiy bo'lib, u mayatnik parametrlaridan aniqlanadi (ω = √g / L, bu erda g - tortishish ta'sirida tezlanish, L - mayatnik uzunligi.
Muvozanat holati yaqinidagi kichik tebranishlar tenglamasi (garmonik tenglama) quyidagicha ko'rinadi:
x + ω2 sin x = 0
Mayatnikning tebranish harakati
Kichik tebranishlarni amalga oshiradigan matematik mayatnik sinusoidda harakat qiladi. Ikkinchi tartibli differentsial tenglama bunday harakatning barcha talablari va parametrlariga javob beradi. Traektoriyani aniqlash uchun siz tezlik va koordinatani ko'rsatishingiz kerak, undan keyin mustaqil konstantalar aniqlanadi:
x = A sin (θ₀ + ωt),
Bu erda θ₀ - boshlang'ich faza, A - tebranish amplitudasi, ω - tsiklik chastota, harakat tenglamasidan aniqlanadi.
Matematik mayatnik (katta amplitudalar uchun formulalar)
Muhim amplituda bilan tebranuvchi bu mexanik tizim harakatning yanada murakkab qonunlariga bo'ysunadi. Bunday mayatnik uchun ular quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
sin x / 2 = u * sn (ωt / u),
bu yerda sn - Yakobi sinus, u uchun u <1 davriy funksiya, kichik u uchun esa oddiy trigonometrik sinus bilan mos keladi. u ning qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
u = (ε + ω2) / 2ω2,
bu yerda ε = E / mL2 (mL2 - mayatnikning energiyasi).
Chiziqsiz mayatnikning tebranish davrini aniqlash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
T = 2π / Ω,
bu yerda Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptik integral, π - 3,14.
M ayatnikning ajratuvchi bo'ylab harakatlanishi
Ajratuvchi dinamik tizimning traektoriyasi bo'lib, unda ikki o'lchovli fazali fazo mavjud. Matematik mayatnik u bo'ylab davriy bo'lmagan holda harakat qiladi. Vaqtning cheksiz uzoq nuqtasida u nol tezlikda o'ta yuqori pozitsiyadan yon tomonga tushadi, keyin uni asta-sekin ko'taradi. Oxir-oqibat, u to'xtaydi, asl holatiga qaytadi.
Agar mayatnik tebranishlarining amplitudasi π, soniga yaqinlashsa, bu faza tekisligidagi harakatning ajratuvchiga yaqinlashishini bildiradi. Bunday holda, kichik majburlash davriy kuch ta'sirida, mexanik tizim xaotik xatti-harakatlarni namoyon qiladi.
Matematik mayatnik qandaydir φ burchak bilan muvozanat holatidan chetga chiqsa, tortishish tangensi Fτ = -mg sin φ bo'ladi. Minus belgisi bu tangensial komponent mayatnikning og'ishidan qarama-qarshi tomonga yo'naltirilganligini bildiradi. Agar mayatnikning radiusi L bo'lgan aylana yoyi bo'ylab x orqali siljishini belgilasak, uning burchak siljishi φ = x / L ga teng. Isaak Nyutonning ikkinchi qonuni tezlanish va kuch vektorining proyeksiyalari uchun mo'ljallangan, kerakli qiymatni beradi:
mg τ = Fτ = -mg sin x / L
Proceeding from this relationship, it is clear that thisthe pendulum is a nonlinear system, since the force that tends to return it to an equilibrium position is always proportional not to the displacement x, but sin x / L.
Faqatgina matematik mayatnik kichik tebranishlarni amalga oshirsa, u garmonik osilator hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, u garmonik tebranishlarni amalga oshirishga qodir mexanik tizimga aylanadi. Ushbu taxmin 15-20 ° burchaklar uchun amalda amal qiladi. Katta amplitudali mayatnikning tebranishlari garmonik emas.
M ayatnikning kichik tebranishlari uchun Nyuton qonuni
Agar bu mexanik tizim kichik tebranishlarni amalga oshirsa, Nyutonning 2-qonuni quyidagicha ko'rinadi:
mg τ = Fτ = -m * g / L * x.
Bundan kelib chiqib, shunday xulosaga kelish mumkinki, matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning minus belgisi bilan siljishiga proporsionaldir. Bu tizim garmonik osilatorga aylanadigan holat. Ko'chirish va tezlanish o'rtasidagi proportsionallik moduli aylana chastotasining kvadratiga teng:
ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.
Ushbu formula ushbu turdagi mayatnikning kichik tebranishlarining tabiiy chastotasini aks ettiradi. Shunga asoslanib: T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.
Energiyaning saqlanish qonuniga asoslangan hisob-kitoblar
Mayatnikning tebranish harakatlarining xossalarini energiyaning saqlanish qonuni orqali ham tasvirlash mumkin. Shuni yodda tutish kerakki, mayatnikning tortishish maydonidagi potentsial energiyasi quyidagilarga teng:
E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2
Umumiy mexanik energiya kinetik yoki maksimal potentsial energiyaga teng: Ep_max = Ek_msx = E
Energiyaning saqlanish qonuni qayd etilgandan so'ng, tenglamaning o'ng va chap qismlarining hosilasini oling:
Ep + Ek = const
Konstantalarning hosilasi 0 bo'lgani uchun (Ep + Ek) "= 0. Yig'indining hosilasi hosilalar yig'indisiga teng:
Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * v + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * v "= mv * α,
Natijada:
Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.
Oxirgi formuladan kelib chiqib, biz quyidagilarni topamiz:
α = - g / L * x.
Matematik mayatnikning amaliy qo'llanilishi
E rkin tushishning tezlashishi geografik kenglikdan farq qiladi, chunki butun sayyora bo'ylab er qobig'ining zichligi bir xil emas. Kattaroq zichlikka ega jinslar mavjud bo'lgan joylarda u biroz yuqoriroq bo'ladi. Matematik mayatnikning tezlanishi ko'pincha geologik qidiruv ishlarida qo'llaniladi. U turli xil minerallarni qidirish uchun ishlatiladi. Mayatnikning tebranishlar sonini hisoblab, siz yerning tubida ko'mir yoki rudani topishingiz mumkin. Buning sababi, bunday qazilmalarning zichligi va massasi ularning ostidagi bo'sh jinsdan kattaroqdir.
Matematik mayatnik Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarx, Arximed kabi taniqli olimlar tomonidan qo'llanilgan. Ularning ko'pchiligi bu mexanik tizim insonning taqdiri va hayotiga ta'sir qilishi mumkinligiga ishonishdi. Arximed o'z hisob-kitoblarida matematik mayatnikdan foydalangan. Hozirgi kunda ko'plab okkultistlar va ruhshunoslar ushbu mexanik tizimdan o'zlarining bashoratlarini bajarish yoki yo'qolgan odamlarni qidirish uchun foydalanadilar.
Mashhur frantsuz astronomi va tabiatshunos olimi K. Flammarion ham oʻz tadqiqotida matematik mayatnikdan foydalangan. Uning ta'kidlashicha, uning yordami bilan u yangi sayyora kashf etilishi, Tunguska meteoritining paydo bo'lishi va boshqa muhim voqealarni bashorat qilishga muvaffaq bo'lgan. Ikkinchi jahon urushi davrida Germaniyada (Berlin) ixtisoslashtirilgan mayatnik instituti faoliyat yuritgan. Ayni kunlarda Myunxen Parapsixologiya instituti shunga o'xshash tadqiqotlar bilan shug'ullanadi. Ushbu muassasa xodimlari mayatnik bilan ishlashlarini "radeesthesia" deb atashadi.