Formula bo ‘yicha hisoblanadi yoy tekislikda berilganda, uning uzunligi

(10.1)
Formula bo ‘yicha hisoblanadi.
yoy tekislikda berilganda, uning uzunligi,
(10.2)
formula orqali hisoblanadi.
Agar egri chiziqning ( -yoyning) tenglamasi oshkor, ya’ni ko ‘rinishda berilsa(f(x)-uzluksiz differensiallanuvchi) , uning yoy uzunligi,
(10.3)
formula orqali topiladi.
10.1-misol.Ushbu , egri chiziqning yoy uzunligini toping.
Yechilishi. Berilgan egri chiziqning yoy uzunligini ,(10.3) formuladan foydalanib topamiz:

Oxirgi integralda , almashtirish bajarib ,

Ekanligini topamiz.
10.2-misol. Ushbu egri chiziqning yoy uzunligini toping.
Yechilishi.Berilgan egri chiziqning yoy uzunligini ,(10.2) formula orqali topamiz:


10.3-misol.Ushbu egri chiziqning yoy uzunligini toping
Yechilishi.Berilgan egri chiziqning yoy uzunligini ,(10.1) formula orqali topamiz:


Demak ,
10.4-misol. Ushbu

tenglama bilan berilgan egri chiziqnining uzunligini toping.
Yechilishi.Ravshanki ,t=1 bo ‘lganda , egri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi.


Shunday qilib , izlanayotgan chiziqning uzunligi ,(10.2) formulaga asosan,

10.2.Qutb koordinatalar sistemasida berilgan chiziqning yoyi uzunligini hisoblash.Agar egri chiziq yoyi qutb koordinatalar sistemasida
tenglama bilan berilgan bo’lib funksiya
da uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega bo’lsa , u holda,
Egri chiziqning yoy uzunligi ,
(10.4)
Formula bo’yicha hisoblanadi.
10.5-misol .Ushbu tenglama bilan berigan chiziq yoyining uzunligini toping.
Yechilishi.Berilgan chiziqning , tenglamasidan ,

Ekanligini topamiz.Endi ,izlanayotgan chiziq yoyining uzunligi,(10.4)
Formula yordamida topiladi:

Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi berilgan chiziqlarning ko ‘rsatilgan kesmalardagi yoy uzunliklarini toping:
10.1 10.2.
10.3 10.4
10.5 10.6
10.7
10.8
10.9 .
10.10. chiziqning , nuqtadan , nuqtagacha bo ‘lgan qismi.
10.11. chiziqning , absissalari, va bo’lgan nuqtalar orasidagi qismi.
10.12. chiziqning to ‘g ‘ri chiziq bilan kesilgan qismi .
10.13 chiziqning o ‘q bilan keilgan qismi .
10.14. chiziqning to ‘g ‘ri chiziq bilan kesilgan qismi.
10.15. chiziqning , dan gacha bo ‘lgan qismi.
Quyidagi berilgan chiziqlarning ko ‘rsatilgan kesmalardagi yoy uzunliklarini toping:
10.16.
10.17. .
10.18.
10.19.
10.20.
10.21.
10.22
10.23
10.24. .
10.25.
10.26.
10.27.
Quyida berilgan chiziqlarning ko ‘rsatilgan kesmalardagi yoy uzunliklarini toping:
10.28 10.29.
10.30. Arximed spiralining radiusi bo ‘lgan doiraning ichidagi qismi.
10.31. 10.32.
10.33. 10.34 kardioida
10.35. 10.36. .
10.37.
10.38. kardoidaning uzunligi.
10.39.
Mustaqil yechish uchun misollarning javoblari
10.1 10.2. 10.3
10.4. 10.5.
10.6. 10.7. 10.8. 10.9.
10.10. 10.11. 10.12. . 10.13.
10.14. 10.15. 10.16 10.17. 10.18.
10.19. 10.20.
10.21.
10.22. 10.23. 10.24. .
10.25.
10.26.
10.27. 10.28. 10.29.
10.30. 10.31.
10.32. . 10.33. . 10.34.
10.35. 10.36. 10.37. 10.38. 10.37. .
11-&.Aniq integral yordamida aylanma jismning hajmini hisoblash
11.1.Dekart koordinatalar sistemasida berilgan aylanma jismning hajmini hisoblash.Faraz qilaylik, bizga biror T jism berilgan bo ‘lib ,uning o ‘qqa parallel bo’lgan kesimlarining yuzasi ma’lum bo ‘lsin.Bu yuza , o ‘zgaruvchining funksiyasi bo ‘ladi, uni orqali belgilaymiz(11.1-chizma).
Agar funksiya kesmada uzluksiz bo ‘lsa ,T jismning
hajmi ,ushbu
(11.1)
Formula bo ‘yicha hisoblanadi.

11.1-misol.Ushbu ellipsoid sirt bilan chegaralangan jismning hajmini toping .

11.1-chizma
Yechilishi.Dastlab berilgan tenglama bo ‘yicha ellipsoidni yasaymiz.
Ellipsoidni tekislikka parallel bo ‘lgan , kesmada
o ‘zgaruvchi , tekisliklar bilan kesamiz .Kesimda ellips hosil bo ‘ladi:

Bunda ellipsning yarim o ‘qlari ,
Bu kesimlarning yuzlari, ga bog ‘liq bo ‘lgan , ellips bilan chegaralangan yuzaga teng bo ‘ladi:

kesimlarning yuzasini (11.) formulaga keltirib quyib , jismning hajmini topamiz:

Faraz qilaylik , funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo ‘lib , uchun bo ‘lsin Yuqoridan funksiya grafigi , yon tomonlardan vertical to ‘g ‘ri chiziqlar ,quyidan o ‘qdagi
kesma bilan chegaralangan shaklani o ‘q atrofida aylanishdan hosil
bo ‘lgan aylanma jismning hajmi (11.2-chizma),
(11.2)
formula bo ‘yicha topiladi.
Agar egri chiziqli trapetsiya , yuqoridan pastdan uzluksiz egri chiziqlar bilan ,yon tomonlardan esa , va to ‘g ‘ri chiziqlar bilan chegaralangan bo ‘lsa ,uning o ‘q atrofida aylanishidan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmi (11.3-chizma) ,
(11.3)
Formula bo ‘yicha topiladi.

11.2-chizma 11.3-chizma
funksiya , kesmada parametrik tenglamalari bilan berilgan bo ‘lsin.Bu funksiyalar da uzluksiz , kesmada
va funksiya ,uzluksiz, manfiy bo ‘lmagan hosilaga ega, hamda bo ‘lsa u holda, aylanma jismning hajmi ,
(11.4)
Formula bo ‘yicha topiladi.
Agar funksiya kesmada kamayuvchi va
bo ‘lsa, u holda ,yuqoridagi shartlar bajarilganda , aylanma jismning hajmi,

Formula bo ‘yicha topiladi.

11.4-chizma 11.5-chizma

o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmi (11.4-,11.5-chizma), yuqoridagi (11.2),(11.3),(11.4) formulalarga o ‘xshash quyidagi



formulalar bo ‘yicha topiladi .
11.2-misol.Quyidagi, chiziqlar bilan chegaralangan shaklni , o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo’ lgan aylanma jismning hajmini toping.
Yechilishi. soha ,yuqoridan uzluksiz funksiya bilan, yon tomonlardan , va to ‘g ‘ri chiziqlar ,pastdan esa , o ‘q bilan chegaralangan.Endi, egri chiziqli sohani o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmini ,(11.2) formula bo ‘yicha hisoblaymiz :

β Chiziqlar bilan chegaralangan shaklni o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmini toping .
Yechilishi. Aylanma jismning hajmini (11.4) formula bo ‘yicha topamiz:

11.2.Qutb koordinatalar sistemasida berilgan aylanma jismning hajmini hisoblash .Agar egri chiziqning tenglamasi qutb koordinatalar sistemasida
ko ‘rinishda berilgan bo ‘lib , kesmada - uzluksiz bo ‘lsa , u holda qutb nuri atrofida
aylanma sektorning hajmi ,
(11.5)
formula bo ‘yicha topiladi .
Agar egri chiziq tenglamasi qutb koordinatalar sistemasida
ko ‘rinishda berilgan bo ‘lib kesmada uzluksiz bo ‘lsa u holda qutb nuri atrofida
aylanma sektorning hajmi ,

formula bo ‘yicha topiladi .
11.4-misol.Ushbu kardiodaning qutb o ‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmini toping.
Yechilishi. kardiodaning qutb o ‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismning hajmini ,(11.5) formulaga ko ‘ra topamiz :

Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarni ko’ rsatilgan o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan jismlarning hajmlarini toping :
11.1 a) o ‘qi atrofida. b) o ‘qi atrofida .
11.2 a) o ‘qi atrofida. b) o ‘qi atrofida
11.3. o ‘qi atrofida
11.4 o ‘qi atrofida
11.5 o ‘qi atrofida
11.6. o ‘qi atrofida
11.7. o ‘q va to ‘g’ri chiziq atrofida
11.8 a) o ‘qi atrofida. b) o ‘qi atrofida
11.9. o ‘qi atrofida.
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarni ko ‘rsatilgan o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismlarning hajmini toping :
11.10. o ‘qi atrofida.
11.11. o ‘qi atrofida
11.12. o ‘qi atrofida
11.13. o ‘qi atrofida.
11.14. o ‘qi atrofida.
11.15. o ‘qi atrofida.
11.16. o ‘qi atrofida.
11.17. o ‘qi atrofida.
11.18. : a) o ‘qi atrofida. b) o ‘qi atrofida.
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarni ko ‘rsatilgan o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismlarning hajmlarini toping.
11.19. : a) o ‘qi atrofida;
b) to ‘g ‘ri chiziq atrofida.
11.20. a) o ‘qi atrofida; . b) o ‘qi atrofida.
11.21. : a) o ‘qi atrofida. b) o ‘qi atrofida.
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarni ko ‘rsatilgan o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan aylanma jismlarning hajmlarini toping:
11.22. ,qutb o ‘qi atrofida .
11.23. , qutb o ‘qi atrofida.
11.24. (Arximed spirali) , qutb o ‘qi atrofida.
11.26. qutb o ‘qi atrofida.
11.27. , qutb o ‘qi atrofida.
11.28. , qutb o ‘qi atrofida.
11.29. , qutb o ‘qi atrofida.
11.30. , qutb o ‘qi atrofida.
11.31. nur atrofida.
11.32. nur atrofida.
11.33. nur atrofida.
Quyidagi sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini toping:
11.34.
11.35.
11.36.
11.37. .
11.38.
11.39.
11.40.
11.41.
11.42. .
Quyidagi egri chiziq bilan chegaralangan figurani o ‘q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan jismning hajmini toping:
11.43. 11.44. .
11.45. 11.46.
Quyidagi egrichiziqlar bilan chegaralangan figurani o ‘ q atrofida aylantirishdan hosil bo ‘lgan jismning hajmini toping:
11.47 11.48.
11.49. 11.50.
Mustaqil yechish uchun misollarning javoblari
11.1.a) .b) . 11.2.a) b) . 11.3. . 11.4. . 11.5. .
11.7. . 11.8. . 11.9.a) b) .11.10. . 11.11. .11.12. .
11.13. . 11.14. .11.15. 11.16. .
11.17. . 11.18. .11.19.a) .b) .11.20.a)
b) .11.21.a) .b) .11.22.a) .b) . 11.23. .11.24. . 11.25. . 11.26. .
11.27. . 11.28. . 11.29. .
11.30. . 11.31. . 11.32. . 11.33. .
11.34. . 11.35. .11.36. .11.37. 11.38. . 11.39. . 11.40. . 11.41. . 11.42. . 11.43. .11.44. . .
11.45. . 11.46. . 11.47. . 11.48. . 11.49. .
11.50.
12-mavzu.Aniq integral yordamida aylanma jism sirtining yuzini hisoblash
12.1.Dekart koordinatalar sistemasida berilgan aylanma sirt yuzini hisoblash. funksiya kesmada aniqlangan uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega
bo ‘lib, uchun, bo ‘lsin.Bu funksiya grafigining va
nuqtalar orasidagi yoyini o ‘q atrofida aylantirish natijasida hosil
bo ‘lgan sirtning yuzi,
(12.1)
formula orqali hisoblanadi.
Agar egri chiziq, , tenglama bilan berilgan
bo ‘lib , funksiya , dan gacha o ‘zgarganda , dan
gacha o ‘zgarib , bo ‘lsa u holda ,(12.1) formulada ,
almashtirish natijasida ,
(12.2)
formulani hosil qilamiz , ya’ni egri chiziqning tenglamasini parametrik shaklda berilganda ,uning o ‘ q atrofida aylanish natijasida hosil bo ‘lgan sirtning yuzini topish formulasini hosil qilamiz .
12.1-misol.Ushbu chiziqning a) o ‘q ;b) o ‘q atrofida aylanish natijasida hosil bo ‘lgan sirtning yuzini toping .
Yechilishi.a)Berilgan chiziqning o ‘q atrofida aylanishi natijasida hosil
bo ‘lgan sirtning yuzi (12.1) formulaga asosan topiladi,bunda,
.
Shunday qilib,berilgan chiziqning o ‘q atrofida aylanishi natijasida hosil bo ‘lgan sirtning yuzi:
.
b)Berilgan chiziqning o ‘qqa nisbatan simmetrikligini hisobga olib,izlanayotgan sirtning yuzini,

formula orqali topamiz:

12.2-misol. Ushbu chiziqning o ‘q atrofida aylanishi natijasida hosil bo ‘lgan sirtning yuzini toping
Yechilishi.Izlanayotgan sirtning yuzi ,(12.2) formula orqali hisoblanadi:


12.2.Qutb koordinatalar sistemasida berilgan aylanma sirtning yuzini hisoblash.Agar yoy egri chiziqning tenglamasi ,qutb koordinatalar sistemasida , ,ko ‘rinishda berilgan bo ‘lib , kesmada uzluksiz ,uzluksiz hosilaga ega bo ‘lsa u holda, (12.2) formula ,
(12.3)
Ko ‘rinishda bo ‘ladi.
12.3-misol.Ushbu chiziqning :a)qutb o ‘qi ;b) o ‘q atrofida aylanishi natijasida hosil bo ‘lgan sirtlarning yuzlarini toping.
Yechilishi.a) Ma’lumki , – Bernulli lemniskatasi bo ‘lib , koordinatalar o ‘qlariga nisbatan simmetrik joylashgan ,koordinatalar boshi – qutb bilan ,musbat yarim o ‘q – qutb o ‘qi bilan mos tushadi .Shuning uchun , izlanayotgan sirtning yuzi ,(12.3) formulaga asosan topiladi: