Frullani integral In mathematics, Frullani integrals are a specific

---

Frullani integral
In mathematics, Frullani integrals are a specific
type of improper integral named after the
Italian mathematician Giuliano Frullani. The
integrals are of the form
where is a function defined for all non-
negative real numbers that has a limit at 
,
which we denote by 
.

---

The following formula for their general solution
holds under certain conditions:
A simple proof of the formula can be arrived at
by using the Fundamental theorem of calculus
to express the integrand as an integral of
:
Proof

---

and then use Fubini's theorem to interchange
the two integrals:
Note that the integral in the second line above
has been taken over the interval 
, not
.

---

The formula can be used to derive an integral
representation for the natural logarithm 
by letting 
and 
:
The formula can also be generalized in several
different ways.
[1]
G. Boros, Victor Hugo Moll, Irresistible
Integrals (2004), pp. 98
Juan Arias-de-Reyna, On the Theorem of
Frullani (https://www.ams.org/journals/pro
c/1990-109-01/S0002-9939-1990-1007485-4/S000
Applications
References

---

2-9939-1990-1007485-4.pdf) (PDF; 884 kB),
Proc. A.M.S. 109 (1990), 165-175.
ProofWiki, proof of Frullani's integral (http
s://proofwiki.org/wiki/Frullani%27s_Integral
#Proof) .
1. Bravo, Sergio; Gonzalez, Ivan; Kohl, Karen; Moll,
Victor Hugo (21 January 2017). "Integrals of
Frullani type and the method of brackets" (htt
ps://www.degruyter.com/view/journals/math/
15/1/article-p1.xml) . Open Mathematics. 15 (1).
doi:10.1515/math-2017-0001 (https://doi.org/10.15
15%2Fmath-2017-0001) . Retrieved 17 June
2020.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?
title=Frullani_integral&oldid=1135793950"

---

This page was last edited on 26 January 2023, at
22:11 (UTC).
•
Content is available under 
CC BY-SA 3.0
unless
otherwise noted.