Функцияларни яқинлаштириш

Mavzu: Oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechishning sonli usullari. Bir qadamli usullar: Eyler va Runge-Kutta usullari.

Tadbiqiy masalalarda juda ko’p oddiy differensial tenglamalar uchraydi bunday tenglamalarni hamma vaqt analitik ko’rinishda yechib bo’lmaydi.

Masalan: tenglamaning umumiy yechimini elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Bunday masalalarni taqribiy yechishga to’g’ri keladi.

u`=f(x,u) (1)

(1) – ko’rinishdagi tenglamaga 1- tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.

u⁽ⁿ⁾=f(x,u,u`,u``,...,u^(n-1)) (2)

(2) – ko’rinishdagi tenglamaga n- tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.

Oddiy differensial tenglama uchun Koshi va chegaraviy masala qo’yiladi.

Agar (1) ko’rinishdagi oddiy differensial tengamani u(x₀)=u₀ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilingan bo’lsa, bunday masala Koshi masalasi deyiladi.

Ketma-ket differensiallash usuli.

(3)
(3) ko’rinishdagi Koshi maslasi berilgan bo’lsa y(x) yechim x₀ nuqta atrofida darajali qator ko’rinishda izlanadi.

(4)

1-misol.

boshlang’ich masala yechimi darajali qator ko’rinishda topilsin. y(0.5)=?



Y echim quyidgi ko’rinishda bo’ladi.

2-misol.

Boshlang’ich masala yechilsin va [0,2] oraliqda h=1 qadam bilan yechim qiymatlari topilsin.

Yechimni:

darajali qator ko’rinishda izlaymiz.

1)Boshlang’ich qiymatlarni qo’yib quyidagilarni aniqlaymiz

2) sistemani x bo’yicha differensiallaymiz:

Bundan ni topamiz
Xuddi shunday
Eyler usuli:

y`=f(x,y), y(x₀)=y₀

koshi masalasi berilgan bo’lsin, hosilani chekli ayirmalar bilan almashtirsak quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

bundan y_i+1 topsak

ko’rinishda bo’ladi.

Demak Eyler metodi yordamida differensial tenglamaning yechimi y(x) ni ko’rinishi emas balki uni

y(x₀), y(x₁) ,...., y(x_n) nuqtalardagi qiymati topiladi.

Misol:

y^`=3x+yx y(0)=1 Boshlang’ich masala yechimi [0;1] oraliqda h=0.2 qadam bilan hisoblansin.

x₀=0, x₁=0.2, x₂=0.4, x₃=0.6, x₄=0.8, x₅=1

y₀=1;

formulaga asosan