Funksional analiz

Algebradagi tatbiqi. Quyidagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:

^x=Улл + bi, ⁽ⁱ=1, 2, ■■■, ^{n) (4)} k=1
Bu tenglamalar sistemasini n o’lchamli vektor fazodagi x=(x1,x₂,...xn) vektor va T=(aij) matritsa orqali ifodalab, x=Tx ko‘rinishda yozish mumkin. n o‘lchamli vektor fazoda quyidagi metrikani qaraymiz: p(x,y) = max\x_i-y_i\, bu yerda
1< i < n
x=(x₁,x₂,.x_n) va y=(y1,y2,... y_n). U holda ixtiyoriy ikkita x’=(x₁’,x2’, ...,x_n) va x’’=(x1’’,x2’’,.,xn’’) nuqta uchun

(o‘quv qo‘llanma) 1
KIRISH 2
I-BOB. METRIK FAZOLAR 6
1.1.Metrik fazoning ta’rifi. 6
1, agar х ф у bo'lsa, 7
0, agar х= у bo'lsa 7
I x + y 9
2-§. Metrik fazoda ba’zi bir geometrik tushunchalar 10
2.1. Ochiq va yopiq sharlar, nuqtaning s atrofi 10
2.2.Chegaralangan to‘plam. 11
2.3.To‘plamning urinish, limit nuqtalari 11
2.4.To‘plamning yopilmasi 12
3-§. Metrik fazodagi ochiq va yopiq to‘plamlar 16
3.1.Yopiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
3.2.Ochiq to‘plam va uning xossalari, misollar. 16
x+ y >5; 18
4-§. Metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi 18
4.1.Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar. 18
4.2.Yaqinlashuvchi ketma-ketlik xossalari. 19
4.3.Ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nolari. 22
5-§. Metrik fazolarda uzluksiz akslantirishlar 24
4.3.Uzluksiz akslantirishning xossalari. 25
6-§. To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo 28
6.2.To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar. 28
6.3.Ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi 29
6.4.To‘ldiruvchi fazo haqidagi teorema 30
7-§. Qisqartirib akslantirish prinsipi 34
7.1.Akslantirishning qo‘zg‘almas nuqtasi. 34
^ y = x + y + 1 34
7.2.Qisqartirib akslantirish. 34
7.3.Qisqartirib akslantirish prinsipi. 35
8-§. Qisqartirib akslantirishning tatbiqlari 37
8.1.Differensial va integral tenglamalarga tatbiqi 37
8.3.Matematik analizdagi tatbiqi. 40
i^xi - d < -^, 2 p 46
e 48
3-§. Separabel bo‘lmagan fazoga misol 49
1 - 49
- 49
!^p- , x0) < у ^{bo ladi}- 49
11r r2r 50
p(^, x ,) < a_n + - < p(^, x₀) + - < - + - < — 50
- - - 50
4-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar 51
4.1.Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar. 51
4.2.To‘plam kompakt bo‘lishining zaruriy shartlari. 51
4.3.n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar 52
5-§. Kompaktlik kriteriyasi 56
s 56
6-§. C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi 59
^{f( (x} )| < k 59
|x₁ - x 2| < 8 59
-- - 60
+ —< k + — < k, k = max k +—, 60
- 60
- 61
\f⁽x)^- )| = |^{f (}x)^{- f (}x_k) + ^{f (}x_k)^- ) + ^И xk)^{- И} x )| < < I^{f (}x)^{- f (}xk )|⁺1^{f (}xk)^- ^⁽ xk )|⁺И xk)^- ^⁽ x )| 61
7-§. Kompaktlar ustida uzluksiz akslantirishlar 63
7.1.Uzluksiz akslantirishdagi kompaktning obrazi haqida. 63
7.2.Uzluksiz funksionalning xossalari. 63
7.3.Kantor teoremasi. 64
|^f(x2 ⁾ — ^f(x 1 ) < ^ 64
1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari 66
2-§. Normalangan fazolar 70
s 73
s 73
+ | ^fm ⁽x 0) - ^{f (}x 0)| ^| |^f - ^fm\ |+ J + | |^f - ^fm\|< 3^ + 3^ + 3^ = ^S 73
3-§. Evklid fazolari 74
0 < ф < п. 76
cosф = 76
|^(X,у) -^(Xn,у_п) < |⁽X,у -у_п) + |⁽X-^Xn,у_п) <||^X|| ||у -у_п\| + |I^х- ^Xn|| ||уп|| 76
||х + у| |² +1 |х - у| |² = 2 (| |x| |² +1 |у| |²) 76
4-§. Gilbert fazolari 78
H = ^lim|Ixnll = ^limV⁽xn , xn 78
5 - §. Chiziqli funksionallar 83
2.1.Chiziqli funksional uzluksizligi. Normalangan fazolardagi chiziqli funksionallar. 83
2.2.Chiziqli funksional normasi. Qo‘shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi. 85
6-§. Chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning uzluksizligi, xossalari 87
6.1. Chiziqli fazolardagi chiziqli operatorlar 87
6.2.Normalangan fazolardagi chiziqli operatorlar 88
^holda II У oil =^{1 va} ||T> o| 1 = Exo x₀ 90
6.3.Chiziqli operatorlar fazosi 91
IV BOB. FUNKSIONAL ANALIZNING VARIATSION HISOBDAGI TATBIQI 103
1-§. Differensial, funksionalning variatsiyasi 103
д • d • д d • • д д df . , , . 105
2-§. Differensiallanuvchi funksionalning ekstremumi 106
3-§. Eyler tenglamasi 109
J 7-h⁽x)⁺ 110
J Я1? 110
4-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi 112
ds 1+ + У % 112
¹⁺^’²^-y, ^y = C=-U-. 113
^y1⁽¹+y^,2) VCI 113
y^,2 = — ^y 113
01 - sin 01 _ x funksiyalar, to‘plamida qarab, boshqa statsionar nuqta topganimiz yo‘q. Demak, bu holda masala bir qiymatli yechiladi. 114
5-§. Eng kichik yuzli aylanma sirt haqidagi masala 116
6-§. Funksional analizning variatsion hisobdagi boshqa tatbiqlari haqida 118
1-§. Banax algebralari 120
(x,a) + (y, в) = (x + У,a + в), /(x,a) = ( yx, ya), 121
(x ,a )•( y, в ) = ( xy + a y + ex ,яв), 121
||( x ,a)-( y, в )|| = || (xy + a y + fix ,a0) || = || xy + a y + fix || + |a^| < 121
xnyy,- - xy|| = ||(^xn — ^x) У_п + ^x (У_п — У )|| ^- 122
-I l^y 1’1 l^{x - x}ll+1 l^xl I ’I\n—^{- y}ll ^ 0 122
ь * я=1 kl=1 126
- X XIxn41у^ 126
2-§. Involyutiv algebralar 127
3-§. Spektr va rezolventa 129
xlln⁺¹ 130
<^x 130
^<1-H 130
(Ле - x)^-1 = (Ле - x” )-1 (Л^-1e + Л-2x + ••• + xⁿ-1) 132
4-§. Gilbert fazosida aniqlangan operatorlar 132

j
tengsizliklarning o‘rinli bo‘lishi yetarli ekan. Demak, (4) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lishi uchun (5) tengsizliklarning o‘rinli bo‘lishi yetarli.

3. 
   Matematik analizdagi tatbiqi.
   

Quyida, oshkormas funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotlaymiz.