Funksional ketma-ketliklar va ularning yaqinlashuvchanligi
Download 54.06 Kb.
|
1 2
- Bu sahifa navigatsiya:
- III.XULOSA IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI
|
Funksional ketma-ketliklarlarning o’rtacha yaqinlashuvchanligi Reja: I.KIRISH II.ASOSIY QISM Funksional ketma-ketliklar Funksional qator Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari Funksional ketma-ketlikni o’rtacha yaqinlashishi . III.XULOSA IV.FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI Elementlari biror XєR to`plamda f1(x), f2(x),… (1) funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Bu ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deb ataladi va {fn(x)} kabi belgilanadi. (1) ketma-ketlikda fn(x) funksiya sha ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi. X to`plamdan x0єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblab, natijada f1(x0), f2(x0), …, fn(x0), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Ta`rif. Agar {fn(x0)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda {fn(x)} funksional ketma-ketlik x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. Ta`rif. Agar {fn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin. Aytaylik, X to`plam (XcR) {fn(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin. Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi. X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli [0, )ning chekli limitini mos qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {fn(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi deyiladi: =f(x) (3). Bu holda {fn(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E>0 son hamda har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga bog`liq) topiladiki, barcha n>N uchun (4) tengsizlik bajariladi. Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n0 natural son topilsaki, barcha n>N uchun tengsizlik bajarilsa, {fn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis yaqinlashadi deyiladi. 2. Funksional qator Biror X to`plamda (XcR) f1(x), f2(x),…,fn(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin. Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda, f1(x), f2(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari fn(x) esa uning umumiy hadi deyiladi. (2) funksional qator hadlari yordamida tuzilgan ushbu: S1(x)=f1(x) S2(x)=f1(x)+f2(x) ……………….. Sn(x)=f1(x)+f2(x)+…+fn(x) Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi. Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni o`rganishga ekvivalent. Ta`rif. Agar da {Sn(x)} funksional ketma-ketlik x0 nuqtada (x0єX) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.. Misol. qatorning yaqinlashishini tekshiring va uning yig`indisini toping. Yechish. Bu qator x ning hamma qiymatlarida yaqinlashuvchi. Haqiqatdan ham, x≠0 bo`lganda berilgan qator maxraji , 0 Agar x=0 bo`lsa, berilgan qatorning hamma hadlari nolga teng bo`lib yaqinlashuvchi va S(0)=0/ shunday qilib, Bu misoldan ko`rinadiki qatorning hamma hadlari Rda uzluksiz, qator esa yaqinlashuvchi, lekin qatorning yig`indisi uslishga ega. Biz bundan keyin qanday shartlar bajarilganda hadlari uzluksiz funksiyalardan iborat yaqinlashuvchi funksional qatorning yig`indisi uzliksiz bo`ladi degan masala bilan shug`illanamiz. (4) funksional qatorni qaraymiz. Bunda fn(n) funksiyalar X to`plamda berilgan bo`lib, x0єX bo`lsin. Ta`rif. Agar (5) funksional qator x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/ Ta`rif. Agar x=x0 nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x0 nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi. Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi. Misol. funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin. Yechish. Ma`lumki qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo`lganda uzoqlashuvchi. Shuning uchun, agar ya`ni bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi. Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e-1,e) entervaldan ibotar. 3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi. Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi. Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi. Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi. Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz. Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi. Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari: 10. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi. 20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni (6) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa (7) gat eng bo`ladi 30. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz hosilaga ega bo`lib, bu hosilalardan tuzilgan funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda funksional qator yig`indisi S(x) shu [a,b] segmentda S1(x) hosilaga ega va S1(x)= (8) bo`ladi. Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar. Darajali qatorlar. Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir. Ta`rif. Quyidagi a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+… (1) yoki a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2) ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda aK(K=0,1,2,…) o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi. Teorema (Abel teoramasi). 1) Agar (2) darajali qator noldan farqli biror x0 qiymatda yaqinlashuvchi bo`lsa x ning tengsizlikni qanoatlanturuvchi har qanday qiymatlarida (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi. 2) Agar (2) qator x1 qiymatda uzoqlashuvchi bo`lsa, x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatlarida (2) qator uzoqlashuvchi bo`ladi Teorema. Darajali qatorning yaqinlashish sohasi markazi koordinatalar boshida bo`lgan intervaldan iboratdir. Ta`rif. Darajali qatorning yaqinlashish intervali deb – Rdan R gacha bo`lgan shunday intervalda aytiladiki, bu interval ichida yotgan har qanday x nuqtada qator yaqinlashadi, shu bilan absolyut yaqinlashadi, uning tashqarisidagi x nuqtalarda esa qator uzoqlashadi (2-chizma). R soni darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi. 2-chizma. Ba`zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba`zilarida esa 0x o`qni butunlay o`z ichiga olishini (R= ) aytib o`tamiz. Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash usulini ko`rsatamiz. darajali qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorni qaraymiz: (3) musbat hadli qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber alomatidan foydalanamiz. Faraz qilamiz limit mavjud bo`lsin. U holda Damalber alomatiga asosan, agar , ya`ni bo`lsin, (3) qator yaqinlashuvchi va agar , ya`ni bo`lsin, uzoqlashuvchi bo`ladi. Demak, (2) qator bo`lganda absolyut yaqinlashadi. Agar bo`lsa, bo`ladi va (3) qator uzoqlashadi. Yuqoridagiga asosan interval (2) darajali qatorning yaqinlashish intervali ekanligi chiqadi, ya`ni (4) Yaqinlashish intervalini aniqlash uchun shunga o`xshash Koshining radikal alomatidan foydalanish mumkin, u vaqtda (5) Misol. darajali qatorning yaqinlashish sohasini toping. Yechish. (4) formuladan foydalanamiz, bunda ; . U holda , bunda yaqinlashish intervali -2 Shunday qilib, xє(-3;1) da qarot absolyut yaqinlashuvchi, x=-3 da qator shartli yaqinlashuvchi bo`ladi. Download 54.06 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|
1 2