«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

b

xx

1
11 nuqtada uzoqlashuvchi bo‟lishini

ko‟rsatamiz.
b
x
1
0 bo‟lsin. U holda shunday 0 soni topish mumkinki,


b
x
1
0 bo‟ladi. Endi    110 sonni olaylik. Bu 01 songa ko‟ra shunday
Nn0 topiladiki, barcha 0nn uchun 1 ban n, yani  
n
nbba1 bo‟ladi. Demak barcha 0nn uchun
 
 
n
n

nn

n
n
n
b
b
b
bxaxa













 1100
1
(23)
bo‟lishi kelib chiqadi, bunda
   
1111




















b
b
b

bb

b
b
.
Endi ushbu
2
0

n
n
nxaxaxaaxa qator bilan quydagi
... 1 1
0
11
























n
n
n
b
b
b
b
b
b






(24)
qatorni solishtiraylik. Bunda birinchidan, (24) qator yaqinlashuvchi (chunki bu
qator geometric qator bo‟lib, uning maxraji 10 1





b
b
) ikkinchidan n ning biror
qiymatlaridan boshlab  0nn (23) munosabatga ko‟ra (19) qatorning har bir hadi (24) qatorningmos hadidan katta emas. Unda qatorlar nazaryasida keltirilgan taqqoslash teoremasiga ko‟ra qator yaqinlashuvchi bo‟ladi.
b
x
1
1 bo‟lsin. Unda shunday 0 soni topish mumkinki,
 

b
x
1
1
bo‟ladi. Endi    110 sonni olaylik. Yuqori limitning xossasiga asosan  n na
ketma-ketlikning ushbu
1 ban n, yani  
n
nba1 tengsizlikni qanoatlantiradigan hadlarining soni cheksiz ko‟p bo‟ladi. Demak bu holda

 

 
n

n
nn
n
n
n
b
b
b
bxaxa













 1111
1
(25)
bo‟lib, bunda
   
11 111




















b
b

b


bb

b
b
bo‟ladi.
Yuqoridagi (25) munosabatdan n da  nnxa1 ketma-ketlikning limiti no‟lga teng emasligini topamiz. Demak,


0
1

n

n
nxa
qator uzoqlashuvchi (qator yaqinlashuvchiligining zaruriy sharti bajarilmaydi). Shunday qilib har bir 














b

xx

1

00 nuqtada (16) darajali qator yaqinlashuvchi
bo‟lar ekan.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusi tarifini etiborga olib,
b
1
berilgan
darajali qator yaqinlashish radiusi ekanini topamiz. Teorema isbot bo‟ldi.
Misollar. 1. ushbu
...
2
...
222 2
2
1







n
n
n

n

nxxxx
darajaki qatorni qaraylik. Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusini (22) formulaga ko‟ra topamiz:
12lim
2
1
lim
1
lim
1







n
n
n
n
nn
n

n

n
a
r.
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi 1r yaqinlashish intervali esa  1,1 dan iborat. Bu darajali qator yaqinlashish intervalining chekkalarida mos ravishda quyidagi
 













1
2

1
n

n
n
, 

12
1
n
n
Sonli qatorlarga aylanib, ularni Leybnes teoremasi hamda Raabe alomatidan foydalanib yaqinlashuvchi ekanligini isbotlash qiyin emas. Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi  1,1 segmentdan iborat.
Ko‟pincha Darajali qatorlarning yaqinlashish sohalarini topishda sonli qatorlar nazaryasida keltirilgan alomatlardan foydalaniladi. Bunda o‟zgaruvchi x ni parametr sifatida qaraladi.
2. Ushbu
 
...
51
...

5352

1
2

2












n
n
n

xxx

darajali qatorni qaraylik. Bu qatorga Dalamber alomatini qo‟llab quyidagini topamiz:

   
 
 
.
52
1
lim
5
52
51
lim
51

:

52
lim

1
1

1

1
x
n
nx
xn
xn
n
x
n
x
d
n
nn
nn
nn
n
n
n
n






















Demak, 1
5

x
, yani 5x bo‟lganda qator yaqinlashuvchi, ,1
5

x
yani 5x
bo‟lganda qator uzoqlashuvchi.
Shunday qilib berilgan Darajali qatorning yaqinlashish radiusi 5r, yaqinlashish intervali esa  5,5 bo‟ladi.
Yaqinlashish intervali  5,5 ning chekkalarida darajali qator mos ravishda
  ...
1
...
3
1
2
1
1...
1
1...
3
1
2
1
1
1






nn

n

sonli qatorlarga aylanib, bu qatorlarning birinchsi yaqinlashuvchi, ikkinchisi esa uzoqlashuvchidir. Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi  5,5 yarim intervaldan iborat ekan.

4-§. Darajali qatorlarning xossalari
Biror
...
0
2

210






n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
Darajali qator berilgan bo‟lsin.
8-teorema.Agar 

0
0
n
n
nxa Darajali qatorning yaqinlashish radiusi  0rr
bo‟lsa, u holda bu qator  cc,  rc0 segmentda tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi.
Isbot.Shartga ko‟ra r-(16) Darajali qatorning yaqinlashish radiusi. Demak, berilgan qstor  rr, intervalda yaqinlashuvchi. Jumladan rc bo‟lganligidan, (16) darajali qator c nuqtada ham yaqinlashuvchi (absalyut yaqinlashuvchi) bo‟ladi. Demak,
... 2210
0







n
n
n
n
ncacacaaca (26)
qator yaqinlashuvchi.
 ccx, uchun har doim nnxncaxa bo‟ladi. Natilada ushbu
...
0
2

210






n
n
n
n
nxaxaxaaxa
qatorning har bir hadi (16) qatorning mos hadidan katta esamligini topamiz. U
holda veyershtrass alomatiga ko‟ra 

0n
n
nxa darajali qator  cc, segmentda tekis
yaqinlashuvchi bo‟ladi. Teorema isbot bo‟ldi.
Eslatma.Bu xossadagi  0ccsoni(16) darajali qatorning yaqinlashish radiusi r ga har qancha yaqin kelib olishi mumkin. Ammo, umuman aytganda, (16) darajali qator  rr, da tekis yaqinlashuvchi bo‟lavermaydi.
Masalan. Ushbu
... 1 2
0







n
n
nxxxx
darajali qator  1,1 oraliqda yaqinlashuvchi  1r, ammo u  1,1 da tekis yaqinlashuvchi emas.
9-teorema. Agar 

0n

n

nxa darajali qatorning yaqinlashish radiusi 0r
bo‟lsa, u holda bu qatorning 





0

)(

n
n
nxaxS yig‟indisi  rr, intervalda uzluksiz
funksiya bo‟ladi.
Isbot. (16) darajali qatorning yaqinlashishintervali  rr, dan ixtiyoriy
  rrxx,00 nuqtani olamiz. Ravshanki rx0 bo‟ladi. Ushbu
rcx0tengsizliklarni qanoatlantiruvchi c sonini olaylik. (16) darajali qator
yuqorida keltirilgan 4-teoremaga ko‟ra  cc, da tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi. (16) darajali qatorning yig‟indisi  xS funksiya  cc, da va demak, 0x nuqtada uzluksiz bo‟ladi. Demak (16) qatorning yig‟indisi  xS funksiyani  rr, intervalda uzluksizdir. Teorema isbot bo‟ldi.
10-teorema. (Abel teoremasi) Agar 

0n
n
nxa darajali qatorning yaqinlashish
radiusi 0r bo‟lsib, bu qator )( rxrx nuqtada yaqinlashuvchi bo‟lsa, u holda
(16) qatorning yig‟indisi 










0

)(

n

n
nxaxS funksiya, shu )( rxrx nuqtada
chapdan (o‟ngdan) uzluksiz bo‟ladi.
Isbot.Berilgan (16) darajali qator
...
0
2

210






n
n
n
n
nxaxaxaaxa
rx nuqtada yaqinlashuvchi bo‟lsin. Demak, ushbu
...
0
2

210






n
n
n
n
nrararaara (27)
sonli qator yaqinlashuvchi. Uning yig‟indisi )(rS bilan belgilaylik:




0
)(
n
n
nrarS. Biz )()(lim
0
rSxS
rx


yani   0)()(lim
0


rSxS
rx
bo‟lishini isbotlashimiz
kerak.
Agar )10(  trtx deb olinsa 01t bo‟lib,
     




0

010101

lim)()(lim)()(lim

n
nnnn
n
ttt
ratrarStrSrSxS
bo‟ladi.
Shartga ko‟ra (27) qator yaqinlashuvchi. U holda 0 olinganda ham
3

ga ko‟ra shunday Nn0 topilsdiki, barcha 0nn va ,...3,2,1p da
3

...
22

1
1

 







pn
pn

n


n

n
nrarara (28)
bo‟ladi. Bu tengsizlikda p da limitga o‟tib quyidagini topamiz:
3
...22

1

1

 




n

n

n

nrara.
Endi quyidagi
 10...
0
22
210


ttratrartaatrannn
n
nn
n
(29)
qatorni qaraymiz. Bu qator  1,0t da yaqinlashuvchi bo‟ladi. Haqiqatan ham,
   




































1

1
12

2

1
1

2

2
1
1

22

2
11
1
...
...
...
p
i
initin
in

n


n

n
n
pnpn
pn

n

n
n
n
pnpn
pn

nn

n
nn
n
ttrarara

trarara


tratratra

bo‟lishini va yuqoridagi (28) tengsizlikni etiborga olib quyidagini topamiz:

  .

333

3
...

1
1
1
1

22

2
11
1




























 n
p
i

inin

pnpnpn
pn

nn

n
nn
n

ttt


ttratratra

Bu esa (29) qatorning yaqinlashuvchiligini, yani 0 olinganda ham

3

shunday
Nn0 topilsdiki, barcha 0nn va ,...2,1p lar uchun
3

...
222

11
1

 







pnpn
pn

nn

n
nn
ntratratra (30)
bo‟lishini ko‟rsatadi. Bu tengsizlikda p da limitga o‟tib, quyidagini topamiz:
3
...222
11
1

 


nn

n

nn
ntratra. (31)
Agar 0n=max 00,nn deb olinsa, unda 0nn bo‟lganda (30) va (31) tengsizliklar bir yo‟la bajariladi.
Barcha 0nn uchun
   



n
k
kk
k
n
n
n
nn
ntraratrarStrS
11
)1()()(
 








...
2
1
1
2

22

2
11
1
n
n
n
n

nn

n
nn
nraratratra
 
33
1
1






n

k

kk


k
tra

bo‟ladi.

Ravshanki, 01t da 01kt ),... 2,1( nk Shu sababli
 
3
1

1











n


k

kk

k
tra

deb olish mumkin.

Natijada

 )()(
rStrS

bo‟ladi. Bu esa

)()(lim
0
rxS
rx


yani   0)()(lim
0


rSxS
rx
bo‟lishini bildiradi. Demak, (16) darajali qatorning yig‟indisi )(xSfunksiya rx da chapdan uzluksiz.
Huddi shunga o‟xshash (16) darajali qator rx da yaqinlashuvchi bo‟lsa, qatorning yig‟indisi –r nuqtada o‟ngdan uzluksiz bo‟lishi ko‟rsatiladi. Teorema isbot bo‟ldi.