Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Logarifmik differensiallash usuli. Ba’zi hollarda differensiallanuvchi y=f(x)>0 funksiya hosilasini uning logarifmi orqali quyidagicha topish mumkin:

. (16)
1-TA’RIF: Funksiyaning f′(x) hosilasini (16) formula orqali topish logarifmik differensiallash usuli deyiladi.
Masalan, f(x)=x²e^2x(1+x⁴)³ funksiya hosilasini bevosita hisoblash ancha murakkab. Biroq logarifmik differensiallash usulida bu hosila osonroq topiladi:


Yana bir misol sifatida f(x)=x^α (x>0, α-ixtiyoriy haqiqiy son) darajali funksiya hosilasini logarifmik differensiallash usulida aniqlaymiz:
.
Bu yerdan (15) formula o‘rinli ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.
2-TA’RIF: Agar u=u(x)>0, v=v(x) esa ixtiyoriy funksiya bo‘lsa, unda y=u(x)^v(x) = u^v ko‘rinishdagi murakkab funksiya darajali-ko‘rsatkichli funksiya deyiladi.
Agar u=u(x)>0 va v=v(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo‘lsa, unda y= u^v darajali-ko‘rsatkichli funksiya ham differensiallanuvchi bo‘ladi va uning hosilasini logarifmik differensiallash usulida quyidagicha hisoblash mumkin:
.
Bu natijani ushbu ko‘rinishda yozamiz:
. (17)
Bu yerdan ko‘rinadiki, y= u^v darajali-ko‘rsatkichli funksiya hosilasi ikkita qo‘shiluvchidan iborat. Bunda birinchi qo‘shiluvchi y= u^v funksiyani murakkab ko‘rsatkichli funksiya (u o‘zgarmas) singari qarab, undan hosila olish natijasida hosil bo‘ladi. Ikkinchi qo‘shiluvchi esa bu funksiyani murakkab darajali funksiya (v o‘zgarmas) deb, undan hosila olish orqali topilishi mumkin.
Misol sifatida y=x^x funksiya hosilasini (17) formula orqali topamiz:
(x^x)′= x^x∙lnx∙x′+x∙ x^x-1∙x′= (1+lnx) x^x . (18)

4.