Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

8.3.1- misol. Ushbu f x  x²  4x  6 funksiyaning ^{ 3; 10} oraliqda
eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Yechilishi. 1)

f '(x)  2x  4;
f '(x)  2x  4  0; bunda
x  2[3,10]

stasionar nuqta bo‘ladi.
f x
hosila
x  2
nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini

«-» dan «+» ga o‘zgartiradi.
Demak, funksiya ekstremumi mavjud bo‘lishining birinchi yetarli

shartiga ko‘ra,
x  2
nuqtada ekstremum qiymatga ega bo‘ladi:
f _min (2)  2 .

2) f  3  27, f 10  66.

3) Shunday qilib, funksiyaning  3; 10
oraliqdagi eng kichik

qiymati ² ga teng bo‘lib, funksiya unga oraliqning ichki nuqtasida erishadi, eng katta qiymati 66 ga teng bo‘lib, funksiya unga oraliqning

o‘ng chetida erishadi: f_{eng kichik}
 f 2  2,
^feng katta ^
f 10  66,

y  f x

4. Funksiya grafigining qavariqligi va botiqligi

funksiya ( a ,b) oraliqda berilgan bo‘lsin. Agar

y  f x

funksiyaning grafigi ( a ,b) oraliqning ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, bu funksiyaning grafigi qavariq (botiq) deyiladi (8.7, 8.8- chizmalar).
Hosila yordamida funksiya grafigining qavariqligi va botiqligini tekshirish mumkin.
y  f ^x^ funksiya (a,b) oraliqda chekli f ^x hosilaga ega bo‘lsin.


y
а


8.7-chizma. 8.8-chizma.

8.4.1-teorema. f x funksiyaning grafigi
(a,b) oraliqda qavariq

(qatiy qavariq) bo‘lishi uchun, uning
f ^x
hosilasining shu oraliqda

kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) bo‘lishi zarur va yetarli.
8.4.2-teorema. f x funksiyaning (a,b) oraliqda botiq (qat’iy botiq)
bo‘lishi uchun, uning f ^x hosilasining shu oraliqda o‘suvchi (qat’iy
o‘suvchi) bo‘lishi zarur va yetarli.
y  f x funksiya (a,b) oraliqda ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin.
8.4.3-teorema. f ^x^ funksiyaning grafigi (a,b) oraliqda qavariq
(botiq) bo‘lishi uchun f ^ x 0  f ^ x 0 tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
8.4.4-misol. Ushbu f x= x ⁴-2 x ³+6 x -4 funksiya grafigining
qavariqlik va botiqlik oraliklarini toping.
Yechilishi. f ^x=4 x ³-6 x ²+6, f ^ x  12 x ²-12 x =12( x ²- x )=12 x ( x -

1. 
   larni topamiz. Ravshanki, (-  ;0) va (1;  ) oraliqlarda ^{f  x}>0
   

tengsizlik o‘rinli, ya’ni bu oraliqlarda funksiyaning grafigi qavariq

bo‘ladi,
(0, 1)
oraliqda esa
f ^ x<0 tengsizlik o‘rinli, ya’ni bu oraliqda

funksiyaning grafigi botiq bo‘ladi.

5. Funksiya grafigining egilish nuqtalari

Funksiyaning hosilasi yordamida uning egilish nuqtalarini topish

mumkin. f ^x^ funksiya x nuqtaning biror U (x )   0 atrofida
0 ^{ 0}

aniqlangan bo‘lsin.
8.5.1-ta’rif. Agar f ( x ) funksiya





0
U ^ (x )

oraliqda botiq (qavariq)

bo‘lib,
U ^ (x )
oraliqda esa qavariq (botiq) bo‘lsa, ya’ni
f x
funksiya x₀



0
nuqtadan o‘tishda o‘z qavariqligining yo‘nalishini o‘zgartirsa, u holda x₀

nuqta nuqta
f x
f x
funksiyaning egilish nuqtasi deyiladi, bu holda funksiya grafigining egilish nuqtasi deyiladi.
x₀ ,
f x₀ 



0

0

0
8.5.2-ta’rif. Agar f ( x ) funksiya U ^ (x ) oraliqda botiq (qavariq)



0
bo‘lib, U ^ (x ) oraliqda esa qavariq (botiq) bo‘lsa,
x , f x 
nuqta

(funksiya grafigining) egilish nuqtasi deb ataladi.
Agar x₀ (a,b) f x funksiya grafigi egilish nuqtasining abssissaci
bo‘lsa, bunda ikkinchi tartibli hosila mavjud bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.
Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi nolga aylanadigan yoki mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar II - tur kritik nuqtalar deyiladi. Bu nuqtalarda egilish mavjud bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin.
1
Masalan, x  0 nuqta y  x³ va ^{y  x 3} funksiyalar uchun egilish nuqtasi

bo‘lib,
y  x³
1
funksiyaning x  0 nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi

mavjud,
emas.


y  x ³
funksiyaning esa ikkinchi tartibli hosilasi esa, mavjud

8.5.3-teorema (egilish nuqtasi bo‘lishning zaruriy sharti). Agar

M x₀ , f x₀  nuqta f ^x^ funksiya grafigi uchun egilish nuqtasi bo‘lib, f ^x^
funksiya x₀ nuqtada ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsa, u holda
f ^x₀   0 bo‘ladi.
Bu shart funksiya grafigi egilish nuqtasiga ega bo‘lishi uchun yetarli shart bo‘la olmaydi.

Masalan,
f x  x⁴
funksiyaning
f ^// x  12x²
hosilasi
x  0
nuqtada

nolga aylanadi, lekin funksiyaning grafigi emas.
M 0; 0
nuqtada egilishga ega

8.5.4-teorema (egilish nuqtasi bo‘lishning birinchi yetarli

sharti). f x funksiya x nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli
0

hosilaga ega va
f ^x₀   0
bo‘lsin. U holda, ko‘rsatilgan atrofda ikkinchi

0
tartibli f ^// x 
hosila x₀ nuqtaning chap va o‘ng atrofida har xil ishoraga

ega bo‘lsa, bo‘ladi.
f x funksiyaning grafigi
M x₀
, f x₀ 
nuqtada egilishga ega

8.5.5-teorema (egilish nuqtasi bo‘lishning ikkinchi yetarli

sharti). Agar f x funksiya x nuqtada chekli uchinchi tartibli hosilaga

0
0

ega va bu nuqtada
f ^x₀
  0 ,
_f /// _x
  0
shartlarni qanoatlantirsa, u holda

f x funksiyaning grafigi
M x₀
, f x₀ 
nuqtada egilishga ega bo‘ladi.

8.5.6-teorema (egilish nuqtasi bo‘lishning uchinchi yetarli

sharti). n  2  biror juft son bo‘lsin. Agar f x funksiya x nuqtaning
0

biror atrofida n tartibli hosilaga,

0
hosilaga ega bo‘lib,
x₀ nuqtaning o‘zida esa
n 1
tartibli

0

0

0
f ^1 x  
_f 2 _x
  ... 
_f n _x
  0,
_f n1 _x
  0

shartlar bajarilsa, u holda egilishga ega bo‘ladi.
f x
funksiya grafigi
M x₀
, f x₀ 
nuqtada

y  f x funksiya grafigining egilish nuqtalarini topish qoidasi:

1. 
   Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi f ^ x topiladi;
   

2. 
   y  f x funksiyaning II tur kritik nuqtalari, ya’ni f ^ x
   

hosila

nolga aylanadigan yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar topiladi;

3. 
   Topilgan kritik nuqtalar f x funksiyaning aniqlanish sohasini
   

oraliqlarga ajratadi. Bu oraliqlarda ikkinchi tartibli f ^ x hosilaning
ishorasi tekshiriladi. Agar bunda x₀ kritik nuqta qavariqlik va botiqlik
oraliqlarini ajratib tursa, x₀ nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi
abssissasidan iborat bo‘ladi;

4. 
   Funksiyaning egilish nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi.
   

8.5.7- misol.

toping.

Yechilishi. 1.

f x  6x²  x³


f ^x  12x  3x² ,
funksiya grafigining egilish nuqtalarini


f ^ x  12  6x.

2. f ^// x  0  12  6x  0 , ya’ni
x  2
yagona kritik nuqta.

3.  ; 2
oraliqda
f ^ x  0 , 2;  
oraliqda esa
f ^ x  0
bo‘lgani

uchun 9-teoremaga ko‘ra, nuqtasining abssissasidir.
x  2
nuqta funksiya grafigi egilish

4. 
   Bu nuqtaning ordinatasini topamiz:
   

f 2  16 . Shunday qilib, 2;16

-funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lar ekan.

6. Funksiya grafigining asimptotalari

Funksiyani tekshirayotganda uning grafigi koordinatalar boshidan cheksiz uzoqlashganda, yoki boshqacha aytganda, uning o‘zgaruvchan nuqtasi cheksizlikka intilganda grafikning ko‘rinishini bilib olish muhim.

Oy va ^Ox o‘qlarga paralel, hamda koordinata o‘qlariga parallel
bo‘lmagan asimptotalarni qaraymiz.