Funksiyaning monotonligi va funksiyaning ekstremumlari

Misol. funksiyaning monotonlik intervallarini va ekstremumini toping.
Yechish.1) Berilgan funksiya intervalda aniqlangan va differensiallanuvchi.
2) Funksiyaning hosilasini topamiz: .
3) Kritik nuqtalarini topamiz: ; ;
; -kritik nuqtalar.
hosilaning ishorasini intervallar usulidan foydalanib tekshiramiz.
Funktsiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti.
funksiya nuqta r atrofi da aniqlangan bo‘lsin.
Agar nuqtaning atrofiga tegishli barcha lar uchun munosabatlar bajarilsa, nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Agar nuqtada funksiyaning gradienti nol vektor bo‘lsa, ya’ni

u holda bu nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
Misol. funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Yechish: Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ixtiyoriy gradienti nuqtada
ga teng.
bo‘lishi uchun bajarilishi kerak. Sistema yechimi , demak (-1;4) statsionar nuqta.

Agar differensiallanuvchi funksiya nuqtada ekstre-mumga ega bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo‘lish zarur:

, .
3.Ikki o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti
Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritaylik:
va bo‘lsin.
U holda:
1) agar bo‘lsa, statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo‘lib,
a) A < 0 bo‘lsa, maksimum nuqtasi;
b) A > 0 bo‘lsa, minimum nuqtasi.

2) agar bo‘lsa, u holda statsionar nuqta ekstremum nuqtasi bo‘lmaydi;

3) agar bo‘lsa, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasi bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Masala yechimi qo‘shimcha tekshirishni talab etadi.