Funksiyaning uzluksizligi Reja

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi Dx®0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi Dy®0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz dеyilаdi vа Dy=0 kabi yozilаdi. x=x<sub>0</sub>+Dx, Dx=x-x<sub>0</sub>, Dy=f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>), Dy=f(x)-f(x<sub>0</sub>)
Dy= (f(x<sub>0</sub>+Dx)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x<sub>0</sub>+x-х<sub>0</sub>)-f(x<sub>0</sub>))= (f(x)-f(x<sub>0</sub>))=0 Misоllar
1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.
y+Dy=2(x+Dx)+1, ayirmani topamiz Dy=2x+2Dx+1-2x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x³
y+Dy=(x+Dx)³
Dy=x³+3x²Dx+3x(Dx)²+Dx³ Dy=x³+3x²Dx+3xDx²+Dx³-x³
Dy=Dx(3x²+3xDx+Dx²)
Dy= (3x²+3xDx+Dx²)Dx=0.
3) f(x)=cosx funksiyaning "x₀ÎR nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.
Yechish. "x₀ÎR nuqtani olib unga Dx orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu Dy=cos(x₀+Dx)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -p<Dx<p bo`lganda
|Dy| = |cos(x₀+Dx) - cosx₀|=
munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:
1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va
f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz bo`ladi;
2) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) lar mavjud, lekin f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)=f(x<sub>0</sub>) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x<sub>0</sub> nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;
3) f(x<sub>0</sub>-0), f(x<sub>0</sub>+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x<sub>0</sub> nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;
4) f(x<sub>0</sub>-0)=f(x<sub>0</sub>+0)¹f(x<sub>0</sub>) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.
Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x<sub>0</sub>=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.
Yechish. Demak,  [x]=1, =2
Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.
Uzluksiz funksiyaning xossalari
Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀ÎX nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)±q(x), f(x)×q(x), : (q(x)¹0), "xÎX funksiyalar ham x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo’ladi.
1-misol. Ushbu f(x)=3x<sup>3</sup>+sin<sup>2</sup>x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.
Yechish. j(x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3×x×x×x+sinx×sinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday  nuqtalar mavjudki, barcha  lar uchun  va  tengsizliklar o`rinli bo`ladi.
Funksiyani  qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb,  ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi: kesmada uzluksiz
funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.

3-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo`lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi:  f(c)=0; a.

Misol.  funksiya berilgan. Bu funksiya [1; 2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada  nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatdan ham  da y=0

4-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A< shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy  son uchun kamida bitta cÎ[a;b] nuqta mavjudki, unda  tenglik to`g`ri bo`ladi.
3-teorema bu teoremaning xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo`lsa, u holda  ni o‘rnida O ni olish mumkin.