Fure qatorining yaqinlashishi. Toq va juft funksiyalarning Fure qatori

2-ta’rif. a₀,a₁,b₁,a₂,b_2,... koeffitsientlari (17) formulalar bilan aniqlangan (18) trigonomeirik qator f(x) funksiyaning Fure qatori dcb ataladi. a₀,a₁,b₁,a₂,b_2,... sonlar esa f(x) funksiyaning Fure koeffitsientlari deyiladi.
Demak, berilgan funksiyaning Fure qatori shunday trigonometrik qatorki uning koeffitsientlari shu funksiyaga bog'liq bo'lib, (17) formulalar bilan aniqlanadi. Shu sababli (18) qatorni (uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishidan qat'iy nazar) ushbu belgi “∽” bilan quyidagicha yoziladi:
_f(x)∽T(f,x)= a₀/2+
Ushbu f(x)= e^αx (-π≤x≥π, α≠0)
funksiyaning Furye qatori topilsin.
(17) formuladan foydalanib bu funksiyaning Furye koeffitsientlarini topamiz:
a₀= dx = ( - )= sh
= = sh
(n=1,2,3…)
=
= sh (n=1,2,3, …)
Demak. berilgan funksiyaning Furye qatori
~ +
bo’ladi.
Juft va toq funksiyalarning Fure qatorlari.
7-teorema. Agar f(x) funksiya juft bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha b_n koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya toq bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha a_n koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya dastlab sonlar o‘qida emas, balki uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan biror oraliqda berilgan bo‘lsa, u holda bu funksiyani cheksiz ko‘p usulda trigonometrik qatorga yoyish mumkin.

1-rasm
Haqiqatan ham, f(x) funksiya (0;a) intervalda berilgan bo‘lsin, bu yerda a<2. f(x) funksiyani ixtiyoriy ravishda [0;2) oraliqqa, keyin esa 2 davr bilan sonlar o‘qiga davom ettiramiz (1-rasm). Bunday davom ettirish natijasida hosil bo‘lgan funksiyani orqali belgilaymiz. funksiyaning davri 2 ga teng, uni Furye qatoriga yoyish mumkin, bu Furye qatori (0;a) oraliqda (f(x) funksiya uzluksiz bo‘lgan barcha nuqtalarda) f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Berilgan f(x) funksiyaning davomi cheksiz ko‘p usulda tanlanishi mumkinligi sababli, (0;a) intervalda f(x) funksiyaga yaqinlashadigan trigonometrik qatorlar ham cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Shunday qilib, uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan oraliqda berilgan f(x) funksiyani trigonometrik qatorga turlicha yoyish mumkin ekan.

2-rasm
Bu xossa (0;) intervalda (umuman olganda, uzunligi  ga teng oraliqda) berilgan f(x) funksiyalar uchun alohida ahamiyatga ega. Bu holda f(x) funksiyaning turli davomlari ichida ikkita maxsus - f_j(x) va f_t(x) davomlari mavjud, bu yerda f_j(x) -juft, f_t(x) - toq funksiyalar. f_j(x) funksiyani hosil qilish uchun avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga juft tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonla o‘qiga davom ettiramiz (10-rasm).
Xuddi shunga o‘xshash f_t(x) funksiyani hosil qilamiz: avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga toq tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonlar o‘qiga davom ettiramiz (3-rasm).
f_j(x) juft funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat a_ncosnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi kosinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.


3-rasm
Shunga o‘xshash, f_t(x) toq funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat b_nsinnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi sinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.
Shunday qilib, uzunligi  ga teng bo‘lgan oraliqda berilgan funksiyani faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo‘yicha Furye qatoriga yoyish mumkin ekan.

f(x) funksiya da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ravshanki, bu holda f(x) cos nx juft funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa toq funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.

1. 
   Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
   

=
(n=0,1,2,3,…)

(n=0,1,2,3…).
Demak, juft f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0, 1, 2, 3,…)
(n=0, 1, 2, 3,…)
bo’lib, Fure qatori esa

bo’ladi.
Endi f(x) funksiya da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu oraqliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x) cos nx toq funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa juft funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.

2. 
   Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
   

=
(n=0,1,2,3,…)
=
= (n=0,1,2,3…)
Demak, toq f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0,1,2,3…)
= (n=0, 1, 2, 3…)
bo’lib, Fure qatori esa

bo’ladi.