Фурье қаторининг яқинлашувчилиги

4⁰. Фурье қаторининг яқинлашувчилиги. Энди функция Фурье қаторининг яқинлашиши ҳақидаги теоремани келтирамиз.
Агар ҳар бир да функция дифференциалланувчи бўлиб, нуқталарда чекли ўнг
,
ва чап

ҳосилаларга эга бўлса, функция да бўлакли-диффе-ренциалланувчи дейилади.
2-теорема. даврли функция оралиқда бўлакли-дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда бу функция-нинг Фурье қатори

да яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси

га тенг бўлади.
◄ (5) тенгликнинг ҳар икки томонини

га кўпайтириб, ушбу

айирмани қуйидагича

ёзиб оламиз. Бу тенгликнинг ўнг томонидаги интегрални иккита

интегралларга ажратамиз. Натижада

бўлади.
Энди ва интегралларни баҳолаймиз. интегрални баҳолаш учун аввало ихтиёрий сонни олиб, ни икки қисмга ажратиб ёзамиз:
(8)
Локаллаштириш принципига асосан
.
Демак,
да
(9)
бўлади. Шартга кўра функция да бўлакли-диф-ференциалланувчи. Унда да

мавжуд бўлиб, да

тенгсизлик ўринли бўлади.
Шунингдек, да

тенгсизлик бажарилади.
Энди деб оламиз. Натижада, учун (8) тенгликнинг ўнг томонидаги биринчи интеграл учун ушбу
(10)
баҳога эга бўламиз.
(8), (9) ва (10) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади.
интеграл ҳам худди шунга ўхшаш баҳоланади ва

бўлиши топилади.
Демак,

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса функциянинг Фурье қаторининг яқинлашувчилиги ва

бўлишини билдиради.►