Furye qatorining ta’rifi

Furye qatori
Furye qatorining ta’rifi.
funksiya kesmada berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Agar funksiyaning trigonametrik qatori
(1)
ko’rinishda berilgan bo’lib uning koeffisentlari quyidagi

(2)
, bu yerda n=1,2, . . .
Formulalar bilan aniqlansa (1) trigonometrik qator funksiyaning Furye qatori deb ataladi, -lar esa funksiyaning Furye koeffisentlari deyiladi.
Demak berilgan funksiyaning Furye qatori shunday trigonometrik qatorki, uning koeffitsentlari shu funksiyaga bog’liq bo’lib, (2) formulalar bilan aniqlanadi. Shu sababli (1) qatorni ushbu « » belgi bilan quyidagicha yoziladi:

Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari.
funksiya da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda juft funksiya, esa toq funksiya bo’ladi va ular da integrallanuvchi bo’ladi.
(2) formuladan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsentlarini topamiz:


Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisentlari

bo’lib, Furye qatori esa

Endi f(x) funksiya da berilgan toq funksiya bo’lsin. U shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda toq funksiya, esa juft funksiya bo’ladi. (2) formuladan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsentlarini topamiz:


Demak toq f(x) funksiyaning Furye koeffisentlari
,
bo’lib, Furye qatori esa

bo’ladi.
Oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori
Biz yuqorida oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin.
F(x) funksiya da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
Ushbu
(3)
Almashtirish oraliqni oraliqqa o’tkazadi. Agar

Deyilsa, funksiyani da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo’ladi:

Bunda

Yuqoridagi (3) tenglikni e’tiborga olsak, unda

bo’lib, uning koeffisentlari esa

bo’ladi.
Natijada

ga ega bo’lamiz, bunda
(5)
(4) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni da berilgan f(x) funksiyaning Furye qatori deyiladi, (5) Furye koeffisentlari deyiladi.