Gaussning normal taqsimot qonuni

Asimmetriya va ekstsess.

Normal taqsimotdan o’zga taqsimotlarni o’rganishda ularning normal taqsimotdan farqini sonli baholash masalasi kelib chiqadi. Shu maqsadda maxsus sonli xarakteristikalar kiritiladi. Shulardan, xususan asimmetriyava ekstsess tushunchasini ko’rib chiqaylik. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun bu xarakteristikalar nolga teng. Shu sababli o’rganilayotgan taqsimot uchun bu xarakteristikalarning sonli qiymatlari etarlicha nolga yaqin bo’lsa, bu taqsimotning normal taqsimotga yaqinligi xaqida gapirish mumkin. Aksincha, asimmetriya va ekstsesslarning katta qiymatlari bu taqsimotning normal taqsimotdan katta farqlanganligini bildiradi.

Asimmetriyaning baholanishini ko’rib chiqaylik. Simmetrik taqsimot uchun (bunday taqsimotning grafigi to’g’ri chizig’iga nisbatan simmetrik) xar bir toq tartibli markaziy momenti nolga teng. Shuning uchun bu toq tartibli ixtiyoriy ( birinchi tartibli momentidasn boshqa, chunki ixtiyoriy taqsimotning birinchi tartibli markaziy momenti nolga teng) momentlar asimmetriyani baholash uchun xizmat qiladi. Tabiiyki ularning eng soddasi -uchinchi tartibli markaziy momenti tanlanadi.Lekin bu -moment tasodifiy miqdor o’lchanayotgan o’lchov birligidan bog’liq bo’lganligi sababli uni ga bo’lib, birlik o’lchovisiz xarakteristikaga o’tib olinadi.Shunday qilib nazariy taqsimotning asimmetriyasi deb markaziy uchinchi tartibli momentning o’rtacha kvadratik chetlanish kubiga nisbatiga aytiladi: .
Agar taqsimot egri chizig’ining uzun qismi, matematik kutilmadan o’ng tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya musbat (2 rasm,a) va agar taqsimot egri chizigining uzun qismi matematik kutilmadan chap tomonda joylashgan bo’lsa, asimmetriya manfiy bo’ladi. (2 rasm,b).

Rasm 2
Nazariy taqsimot egri chizig’ining maksimumi normal taqsimot egri chizig’ining maksimumidan pastroqda yoki yuqoriroqda joylashganligini ya’ni taqsimot egri chizig’ining “qiyaligini” baholash uchun ekstsess deb ataluvchi sonli xarakteristikadan foydalaniladi. Ekstses quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: .

Normal taqsimot uchun bo’lganligi sababli . Shu sababli, agar biror taqsimot uchun ekstsess noldan farqli bo’lsa uning zichlik funksiyasining grafigi normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan farqli bo’ladi: agar ekstsess musbat bo’lsa, unda uning zichlik funksiyasining grafigi maksimum nuqtada normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan balandroq bo’ladi (3 rasm,a) . Agar ekstsess manfiy bo’lsa unda solishtirilayotgan taqsimot zichlik funksiyasi grafigi maksimum nuqtada normal taqsimot zichlik funksiyasi grafigidan pastroq, ya’ni “yassi”roq bo’ladi (3 rasm b). Lekin bunda shu narsa ko’zda tutiladiki normal taqsimot xam, solishtirilayotgan taqsimot xam bir xil matematik kutilmaga ega.

Rasm 3