Геофизические методы исследований. Учебное пособие

3.4.2
Прямая и обратная задачи для вертикального бесконечного стержня
Пусть на глубине 
h
залегает вершина бесконечно длинного вертикального стерж-
ня сечением 
s
, однородно намагниченного вдоль оси 
z
(рис.3.3). Его можно предста-
вить как тело одного полюса 
m
с интенсивностью намагничения 
I
, направленной вдоль
оси 
z
, и магнитной массы 
m = Is
. Так как нижний полюс расположен очень далеко, то
его влиянием можно пренебречь и считать, что вся магнитная масса сосредоточена на
вершине стержня. Поэтому поле этого стержня будет таким же, как и поле точечной
массы, расположенной в центре его вершины, и решение прямой задачи можно полу-
чить без вычисления интегралов (3.11).
Потенциал стержня определяют непосредственно из выражения для потенциала
точечной массы [см. формулу (3.9)], т. е. 
U
ст
 = m/μr = Is/μ(x
2
+z
2
)
l/2
, а аномальные вер-
тикальная, горизонтальная составляющие и полный вектор напряженности магнитного
поля
.
,
)
(
,
)
(
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
CT
CT
CT
CT
CT
CT
CT
H
Z
T
h
x
Isx
x
U
H
h
x
Ish
z
U
Z
+
=
+
−
=
∂
∂
−
=
+
=
∂
∂
−
=
µ
µ
(3.12)
На рис 3.3, а приведены графики 
Z
CT
, Н
CT
, Т
CT
для 
I = I
Z 
> 0
.
Рис.3.3 Магнитное поле вертикального стержня (а) и шара (б)

---

102
При 
x = 0 Z
max
= T
max
= Is/μh
2
, H
X 
= 0,
т. е. над стержнем наблюдаются одина-
ковые максимумы 
Z
СТ
и 
Т
СТ
и нулевое значение 
Н
СТ
. При 
х 
→
 
± 
∞
все составляющие
стремятся к нулю. Путем подстановки в выражения (3.12) можно показать, что на гра-
фиках горизонтальной составляющей при 
2
h
x
±
=
имеются экстремумы. В точке 
x=-h
кривые 
Z
CT
 
и 
Н
CT
пересекаются. Для точки графика 
Z
CT
, в которой 
Z
1/2 
= Z
max 
/ 2,
полу-
чаем следующее уравнение:
.
2
/
)
/(
2
2
3
2
2
2
1
2
1
µ
µ
h
Is
h
x
Ish
Z
=
+
=
При его решении получаем 
|x
1/2
|= 0.7h
. Аналогично можно доказать, что абсцис-
са точки, в которой 
T
1/2
 = T
max 
/2, |x
1/2
| = h
. Очевидно, что в плане (на плоскости 
(xOy)
над вертикальным бесконечно длинным стержнем изодинамы 
Z
CT
и 
Т
CT
представляют
собой практически совпадающие по интенсивности и знаку (положительные при 
I > 0
)
концентрические окружности с одинаковым максимальным значением напряженностей
над их центром.
Обратную задачу магниторазведки для концентрических аномалий 
Z
CT
и 
T
CT
од-
ного знака, соответствующих объектам типа вертикального стержня (штокообразные
интрузии, кимберлитовые трубки и т. д.), решают следующим образом. Центр стержне-
образного объекта залегает под экстремумами 
Z
CT
, 
T
CT
и перегибом (переход через
ноль) графика 
Н
CT
. При использовании приведенных выше данных решения прямой
задачи глубину залегания верхней кромки стержня можно рассчитать по формулам
h = 1.3|x
Z ½
|, h = |x
T ½
|, h = 1,4|x
H экс
|, h = - x
ZH пер
,
(3.13)
где 
x
Z ½
, 
x
T ½
, 
x
H экс
, 
x
ZH пер
—абсциссы точек на графиках, в которых 
Z
СТ 
= Z
max 
/ 2
,
Т
СТ 
= Т
max 
/ 2
, экстремум 
Н
СТ
, пересечение графиков 
Z
СТ
и 
Н
СТ
.
Зная глубину 
h
, можно оценить величину магнитной массы 
m = Is
по экстрему-
мам кривых магнитных аномалий
m = Z
max 
μh
2
, m = T
max 
μh
2
, m = 3,67 H
max 
μh
2
(3.14)
Так как 
I ≈ χT
cp
, где 
T
cp 
— средняя напряженность геомагнитного поля, зная 
χ
по
измерениям магнитной восприимчивости образцов, легко получить площадь поверхно-
сти стержня 
s=m/I
.
3.4.3
Прямая и обратная задачи для вертикального намагниченного шара
Пусть вертикально и однородно намагниченный шар объемом 
V
с центром на
глубине 
h
залегает под началом координат (рис.3.3, б). В теории магниторазведки дока-
зано, что магнитное поле шара можно представить как поле диполя, помещенного в его
центре. Поэтому потенциал шара получают непосредственно из формулы (3.8) заменой
dV
на 
V
или из выражений (3.11), считая, что интеграл от 
dV
по объему шара равен 
V
.
Так, на оси 
Оx (у=0)
 с учетом того, что 
cos θ = h/r
(см. рис. 3.3, 6), потенциал
2
3
2
2
Ш
)
h
x
(
IVh
U
+
=
µ
Отсюда элементы аномального магнитного поля шара 
ΔZ
a
=Z
Ш
, ΔH
a
=H
Ш
,
ΔT
a
=T
Ш
находят по формулам
,
)
x
h
(
)
x
h
2
(
IV
h
U
Z
2
5
2
2
2
2
Ш
Ш
+
−
=
∂
∂
−
=
µ
,
)
x
h
(
IVhx
3
x
U
H
2
5
2
2
Ш
Ш
+
=
∂
∂
−
=
µ
(3.15)
Из осевой симметрии задачи следует, что 
H
ш
— горизонтальная компонента поля
по любому направлению.

---

103
Анализ формул (3.15) и построение по ним графиков (см. рис.3.3, б) показывает,
что при 
х=0
(над центром шара) будут максимумы (при 
I >0
) элементов поля
Z
max
=T
max
=
2IV/μh
3
и переход через нуль кривой 
H
ш
. Как и все элементы шара при 
х
→
± ∞
, составляющие 
H
ш
при 
х= 0
и 
Z
ш
при 
x=x
Z 0
= |
2
h
|
равны нулю. При 
|x|>
1,4
h
Z
ш
отрицательна, образуя минимумы при 
х= ± x
Z min
=2h
, постепенно стремящиеся к
нулю. Таким образом, на графиках и на карте 
Z
ш
 будут аномалии двух знаков: положи-
тельные (при 
I 
> 0) над шаром и слабые отрицательные вокруг. На графике 
H
ш
будут
два экстремума при 
х= ± x
H экс
= 0,5h
, а при 
x
Z H nep
= -0,56h
графики 
Z
ш
и 
H
ш
пересе-
каются. С помощью приема, рассмотренного при анализе магнитного поля стержня,
можно получить характерные точки. Половины максимальных аномалий (0,5
Z
max
и
0,5
T
max
) будут соответственно при 
x
Z ½ 
= ± 0,55h и x
T ½ 
= ± 0,68h.
Очевидно, что в
плане (на плоскости xOy) непосредственно над вертикально намагниченным шаром
изолинии 
Z
ш
и 
T
ш
будут иметь вид концентрических окружностей с практически сов-
падающими интенсивностями и знаками. На расстояниях, превышающих глубины за-
легания, элементы 
Z
ш
 и 
T
ш
различаются и по интенсивности, и по знаку: аномалии 
Z
ш
будут двух знаков, а 
T
ш 
— одного. В целом вертикальная компонента, направленная
вдоль намагниченности шара, оказывается более информативной, чем горизонтальная и
полный вектор.
Обратную задачу магниторазведки для магнитных аномалий над геологическими
объектами типа шара, которые создаются намагниченными геологическими объектами
изометрической формы (брахиантиклинальные и брахисинклинальные структуры, ядра
которых сложены породами с повышенными магнитными свойствами, интрузии, лак-
колиты, массивные залежи железосодержащих руд осадочного происхождения, бокси-
та, марганцевых руд и другие геологические тела), решают следующим образом. Центр
шарообразной залежи залегает под экстремумами 
Z
ш
, 
T
ш
и перегибом (переход через
нуль) графика 
H
ш
. При использовании результатов решения прямых задач глубину за-
легания центра вертикально намагниченного шара можно рассчитать через абсциссы
характерных точек по формулам
h = 1,8 |x
Z ½
|, h = 0,5 |x
Z min
|, h = 0,7 |x
Z 0
|,
h = 1,5 |x
T ½
|, h = 2 |x
H экс
|, h = - 1,8 |x
Z H пер
|.
(3.16)
Зная 
h
, например, по усредненным значениям, полученным с помощью формул
(3.16), можно оценить магнитную массу и объем шара:
m = I·V = Z
max 
μh
3/2
=T
max
 μh
3/2
,
V = m / I ≈ m / χT
СР
где 
χ
— магнитная восприимчивость, известная по измерениям на образцах гор-
ных пород; 
T
СР 
— средняя напряженность магнитного поля Земли в районе работ.