Геометрические характеристики плоских сечений

Рис. 4.8
Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.8, a показана элементарная площадка, очерченная двумя ра­диусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

Интегрирование по площади заменим двойным интегрировани­ем:

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.8, б), что

следовательно,

Данное условие называется условием инвариантности. Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.
Так как оси x и y для круга равнозначны, то 
Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

Размерность моментов инерции L⁴. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.
Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д.