Gipergeometrik tenglama, uning echimlari va gipergeometrik funksiyalar haqida

hol. 𝜎⁽𝑧⁾ funksiya bitta ildizga ega 𝜎⁽𝑧⁾ = ⁽𝑧 − 𝑎⁾ va 𝑟^′(𝑎) ≠ 0 bo‘lsa, u holda 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑠 chiziqli almashtirish yordamida (2) tenglama

𝑠 𝑑²𝑢 𝑟⁽𝑎 + 𝑏𝑠⁾ 𝑑𝑢

𝑏 𝑑𝑠^{2 +} 𝑏
ko‘rinishga keltiriladi.
+ 𝜆𝑢 = 0
𝑑𝑠

𝛾 = 𝑟⁽𝑎⁾, 𝛼 = −𝑏𝜆 belgilashlar kiritib va 𝑏 = − ¹
𝑐^𝘍(𝑎)
deb tanlasak,

tenglama quyidagicha yoziladi:
𝑠𝑢^′′ + ⁽𝛾 − 𝑠⁾𝑢^′ − 𝛼𝑢 = 0. (3)
bu tenglama aynigan (vыrojdennaya) gipergeometrik tenglama deb aytiladi.

3. 
   hol. agar 𝜎⁽𝑧⁾ ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo‘lsa, umumiylikka zid keltirmasdan 𝜎⁽𝑧⁾ ≡ 1
   

deb hisoblash mumkin. agar, 𝑟^′(𝑠⁾ = 0 bo‘lsa, (1) tenglama chiziqli bir jinsli o‘zgarmas koeffitsientli tenglama bo‘ladi. bu holni qaramaymiz.
𝑟^′(𝑠⁾ ≠ 0 holni qaraymiz. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑠 chiziqli almashtirish yordamida (1)
tenglama
1 𝑑²𝑢 𝑟⁽𝑎 + 𝑏𝑠⁾ 𝑑𝑢

𝑏 𝑑𝑠^{2 +} 𝑏
ko‘rinishga keltiriladi.
+ 𝜆𝑢 = 0
𝑑𝑠

𝑎 − soni 𝑟⁽𝑎⁾ = 0 tenglamani ildizi bo‘lsin. 𝑏² = − ²
𝑐^𝘍(𝑠)
deb tanlaymiz

va 𝑏²𝜆 ni 2𝜈 deb belgilaymiz. natijada (1) tenglama
𝑢^′′ − 2𝑠𝑢^′ + 2𝜈𝑢 = 0 (4)
ko‘rinishga keladi. (4) tenglama ermit tenglamasi deb ataladi. 𝜈 ning manfiy bo‘lmagan butun qiymatlarida ko‘phadlar uchun ermit tenglamasi bilan bir xil bo‘ladi.
endi (1) tenglamaning echimini o‘rganish bilan shug‘ullanamiz. agar 𝑐 ≠ 0, −1, −2, … bo‘lsa, unda

∞
⁽𝑎^)
(𝑏⁾
_𝑧𝑛

𝑢₁
= ∑ ^{𝑛 𝑛} ≡ 𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧^{) (}𝑐^)𝑛𝑛!
𝑛=0

(1) gipergeometrik tenglamaning echimi bo‘ladi va 𝑧 = 0 nuqtada regulyar bo‘ladi [1].
ikkinchi tomondan 𝑅𝑒 𝑐 > 𝑅𝑒 𝑏 > 0 da
1

Γ⁽𝑐⁾
𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧⁾ = _{Γ(𝑏)Γ(𝑐 − 𝑏)} ∫
0
_𝑡𝑏−1_{(1 − 𝑡)}𝑐−𝑏−1
⁽1 − 𝑡𝑧^{)𝑎 𝑑𝑡,}
(5)

tenglik o‘rinli bo‘lib, bu eyler formulasi deyiladi.
(5) ning o‘ng tomoni ^|arg⁽1 − 𝑧^)| < 𝜋 sohada 𝑧 ga bog‘liq bir qiymatli analitik funsiya, ya'ni 𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧⁾ funksiyaning analitik davomi bo‘ladi.

(5) formulani o‘rinli ekanligini isbotlaymiz.
(5) tenglikda ^|𝑧^| < 1 da ⁽1 − 𝑡𝑧^)−𝑎 ni binomial qatorga yoyamiz va hosil bo‘lgan qatorni hadma-had integrallaymiz. shunda biz beta integrallarga ega bo‘lamiz. ular eylerning gamma va beta funksiyalari orqali hisoblanadi.
quyidagi ayniyatdan
_𝜕2 _{𝜕 𝑡}𝑏−1_{(1 − 𝑡)}𝑐−𝑏−1

{𝑧⁽1 − 𝑧⁾ _𝜕𝑧2 + ^[𝑐 − ⁽𝑎 + 𝑏 + 1⁾𝑧^] _𝜕𝑧 − 𝑎𝑏}
⁽1 − 𝑡𝑧^{)𝑎 =}

= −𝑎 ^{𝜕 [}𝑡^𝑏(1 − 𝑡^{)𝑐−𝑏(}1 − 𝑡𝑧^{)−𝑎−1]} (2.1.28)
𝜕𝑡
kelib chiqadiki, ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda (1) differensial tenglamaning echimi bo‘ladi. 𝑠 = −𝑡 deb olinsa, 𝑅𝑒 𝑏 > 0, 𝑅𝑒 ⁽𝑎 + 1 − 𝑐⁾ > 0 va ^|arg 𝑧^| < 𝜋 da
∞
∫ 𝑠^𝑏−1(1 + 𝑠^{)𝑐−𝑏−1(}1 + 𝑠𝑧^)−𝑎𝑑𝑠
0
integral (1) gipergeometrik differensial tenglamaning echimi bo‘ladi.

𝑠 = ^𝑐 1−𝑐
o‘rniga qo‘yish orqali quyidagi ko‘rinishdagi integralga kelamiz:
1
∫ 𝑟^𝑏−1(1 − 𝑟^{)𝑎−𝑐[}1 − 𝑟⁽1 − 𝑧^)]−𝑎𝑑𝑡.
0

shuningdek,

𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑎 + 𝑏 + 1 − 𝑐; 1 − 𝑧⁾ =

∞

= Γ(𝑎 + 𝑏 + 1 − 𝑐) ∫ 𝑠^𝑏−1(1 + 𝑠^{)𝑐−𝑏−1(}1 + 𝑠𝑧^)−𝑎𝑑𝑠 Γ⁽𝑏⁾Γ⁽𝑎 + 1 − 𝑐⁾
0
ham gipergeometrik tenglamaning echimi bo‘ladi. bundan tashqari, quyidagi ko‘rinishdagi ixtiyoriy integral

∫ 𝑡^𝑏−1(1 − 𝑡^{)𝑐−𝑏−1(}1 − 𝑡𝑧^)−𝑎𝑑𝑡

𝐶
(1) gipergeometrik tenglamaning echimi bo‘ladi, agarda 𝐶 integralosti funksiyaning riman sirtida yopiq kontur yoki kontur chekkalari 𝑡^𝑏(1 −
𝑡^{)𝑐−𝑏(}1 − 𝑡𝑧^)−𝑎−1 funksiyaning nollari bo‘lsa.
⁽1 − 𝑡𝑧^)−𝑎 ni binomial qatorga yoyib va beta funksiya uchun kontur integrallarini qo‘llab, quyidagilarni topamiz:

𝑖Γ⁽𝑐⁾ exp^[𝑖𝜋⁽𝑏 − 𝑐^)]
(1+⁾
_𝑡𝑏−1_{(1 − 𝑡)}𝑐−𝑏−1

^{𝐹(𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧) =} Γ⁽𝑏⁾Γ⁽𝑐 − 𝑏⁾2 sin^[𝜋⁽𝑐 − 𝑏^{)] ∫}
0
⁽1 − 𝑡𝑧^)𝑎
𝑑𝑡,

Re 𝑏 > 0, ^|arg⁽1 − 𝑧^)| < 𝜋, 𝑐 − 𝑏 ≠ 1,2,3, … ;

⁽1+⁾
−𝑖Γ⁽𝑐⁾ exp^[𝑖𝜋𝑏^]
𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧⁾ = ∫
Γ⁽𝑏⁾Γ⁽𝑐 − 𝑏⁾2 sin^[𝜋𝑏^]
0
_𝑡𝑏−1_{(1 − 𝑡)}𝑐−𝑏−1 ⁽1 − 𝑡𝑧^)𝑎


𝑑𝑡,

Re 𝑐 > Re 𝑏, ^|arg⁽−𝑧^)| < 𝜋, 𝑏 ≠ 1,2,3, … ;
𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧⁾ =
⁽1+,0+,1−,0−⁾

−Γ⁽𝑐⁾ exp^[𝑖𝜋𝑐^]
= Γ⁽𝑏⁾Γ⁽𝑐 − 𝑏⁾4 sin 𝜋𝑏 sin^[𝜋⁽𝑐 − 𝑏^{)] ∫}
_𝑡𝑏−1_{(1 − 𝑡)}𝑐−𝑏−1



⁽1 − 𝑡𝑧^)𝑎
𝑑𝑡,

^|arg⁽−𝑧^)| < 𝜋, 𝑏, 1 − 𝑐, 𝑐 − 𝑏 ≠ 1,2,3, … .
faraz qilamiz, barcha hollarda integrallash yo‘li 𝑡^𝑏−1(1 − 𝑡^{)𝑐−𝑏−1(}1 −
𝑡𝑧^)−𝑎 uchun riman sirtidagi nuqtadan boshlanadi, 𝑡 haqiqiy, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 va
𝑡^𝑏, ⁽1 − 𝑡^)𝑐−𝑏 lar funksiyaning bosh qiymatlari, ⁽1 − 𝑡𝑧^)−𝑎 aniqlangan va 𝑧 → 0 da ⁽1 − 𝑡𝑧^)−𝑎 → 1 bo‘ladi.
agar 𝑧 = 1 ni qo‘ysak, (5) ning o‘ng tomoni beta integral bo‘ladi va quyidagi kelib chiqadi:
Γ⁽𝑐⁾Γ⁽𝑐 − 𝑎 − 𝑏⁾
𝐹⁽𝑎, 𝑏; 𝑐; 1⁾ = _{( ) (} ,
Γ 𝑐 − 𝑎 Γ 𝑐 − 𝑏⁾
bunda Re 𝑐 > Re 𝑏 > 0, Re⁽𝑐 − 𝑎 − 𝑏⁾ > 0.
ushbu tenglikni parametrlarga kuchsiz shartlar qo‘yilganda ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin, xususan 𝑐 ≠ 0, −1, −2, … va Re⁽𝑐 − 𝑎 − 𝑏⁾ > 0 bo‘lishi formulaning o‘rinli bo‘lishi uchun etarli.
ilmiy izlanishlarda qulaylik tug‘dirish uchun bir nechta adabiyotlardan gipergeometrik funksiya haqida to‘liqroq ma'lumotlar to‘plashga harakat qilindi. xususan, uning bir nechta xossalarini keltiramiz:
1. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧⁾ = 𝐹⁽𝑏, 𝑎, 𝑐, 𝑧⁾ (gipergeometrik funsiya birinchi va ikkinchi
argumentlari bo‘yicha simmetrik);
2. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑏; 𝑧⁾ = (1 − 𝑧)^−𝑎;
3. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 1⁾ = ^{g(𝑐)g(𝑐−𝑎−𝑏)} , 𝑅𝑒⁽𝑐 − 𝑎 − 𝑏⁾ > 0;
g⁽𝑐−𝑎⁾g(𝑐−𝑏)
4. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 0⁾ = 𝐹⁽0, 𝑏, 𝑐, 𝑧⁾ = 1;
5. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧⁾ = (1 − 𝑧)^−𝑎𝐹 (𝑎, 𝑐 − 𝑏, 𝑐; ^𝑧 ) =
𝑧−1

= (1 − 𝑧)^−𝑏𝐹 (𝑐 − 𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧
𝑧 − 1
) , ^|arg⁽1 − 𝑧^)| < 𝜋;

6. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧⁾ = ^{g(𝑐)g(𝑏−𝑎)} (1 − 𝑧)^−𝑎𝐹 (𝑎, 𝑐 − 𝑏, 𝑎 − 𝑏 + 1; ¹ ) +

g⁽𝑐−𝑎⁾g⁽𝑏⁾
+ g(𝑐)g(𝑎 − 𝑏) (1 − 𝑧)^−𝑏𝐹 (𝑐 − 𝑎, 𝑏, 𝑏 − 𝑎 + 1; 1 ),
𝑧−1

g⁽𝑐 − 𝑎⁾g⁽𝑎⁾ 𝑧 − 1

𝑎 − 𝑏 ≠ 0, ±1, ±2, … , ^|arg⁽−𝑧^)| < 𝜋, ^|arg⁽1 − 𝑧^)| < 𝜋;
7. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑧⁾ = ^{g(𝑐)g(𝑐−𝑏−𝑎)} 𝑧^−𝑎𝐹 (𝑎, 𝑎 − 𝑐 + 1, 𝑎 + 𝑏 + 1 − 𝑐; 1 −
g⁽𝑐−𝑎⁾g⁽𝑐−𝑏<sup>)


1</sup>) +
𝑧

g(𝑐)g(𝑏 + 𝑎 − 𝑐) 𝑧^𝑎−𝑐(1 − 𝑧)^{𝑐−𝑎−𝑏}𝐹 (𝑐 − 𝑎, 1 − 𝑎, 𝑐 + 1 − 𝑎 − 𝑏; 1 − 1),
g⁽𝑎⁾g⁽𝑏⁾ 𝑧
𝑐 − 𝑎 − 𝑏 ≠ 0, ±1, ±2, … , ^|arg⁽−𝑧^)| < 𝜋, ^|arg⁽1 − 𝑧^)| < 𝜋;
8. 𝐹⁽𝑎, 1 − 𝑎, 𝑐; 𝑧⁾ = (1 − 𝑧)^𝑐−1𝐹 (^𝑐−𝑎 , ^{𝑐+𝑎−1} , 𝑐; 4𝑧⁽1 − 𝑧⁾) ;
2 2
^{9. 𝐹(𝑎, 1 − 𝑎, 𝑐, −𝑧) = (1 + 𝑧)𝑐−1(}√^{1 + 𝑧 +} √^𝑧)2−2𝑎−2𝑐 ^∙
1 −2
^{𝐹 (𝑐 + 𝑎 − 1, 𝑐 −} ₂ ^{, 2𝑐 − 1; 4√𝑧(1 + 𝑧)(√1 + 𝑧 +} √^{𝑧) ) ;}
10. 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧⁾ = ^𝑏 𝐹⁽𝑎, 𝑏 + 1, 𝑐 + 1; 𝑧⁾ + ^𝑐−𝑏 𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐 + 1; 𝑧⁾;
𝑐 𝑐

11. ^𝑑𝑘
𝑑𝑧^𝑘
12. ^𝑑𝑘
𝑑𝑧^𝑘
𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑧⁾ = ^{(𝑎)𝑘(𝑏)𝑘} 𝐹⁽𝑎 + 𝑘, 𝑏 + 𝑘, 𝑐 + 𝑘; 𝑧⁾;
⁽𝑐⁾_𝑘
^[𝑧^𝑐−1(1 − 𝑧^{)𝑏−𝑐+𝑘}𝐹⁽𝑎, 𝑏, 𝑐; 𝑧^)] =

⁽𝑐 − 𝑘^)𝑘𝑧^{𝑐−1−𝑘(}1 − 𝑧^)𝑏−𝑐𝐹⁽𝑎 − 𝑘, 𝑏, 𝑐 − 𝑘; 𝑧⁾.
gipergeometrik funksiya turli xil xossalarga ega. uning universal funksiya ekanligi ham shundaki, parametrlarining turli qiymatlarida u bir qator elementar va maxsus qiymatlarni ifodalaydi.
jumladan, parametrlarning xususiy qiymatlarida gipergeometrik funksiyaning elementar va maxsus funsiyalarni ifodalashiga doir jadvalni keltiramiz:

𝜋 1
1) 𝐹 ( ,

𝜋
2


1 ; 1; 𝑘²) = ∫ 𝑑𝜑

= 𝐾⁽𝑘⁾;

2 2 2
√1 − 𝑘²𝑠𝑖𝑛²𝜑
0
𝜋

2) 𝜋 𝐹 (− 1 , 1 ; 1; 𝑘²) = ∫2 ^√1 − 𝑘²𝑠𝑖𝑛²𝜑𝑑𝜑 = 𝐸⁽𝑘⁾;

2 2 2
0
1 − 𝑥

3) 𝐹 (𝑛 + 1, −𝑛; 1;
₂ ) = 𝑃_𝑛⁽𝑥⁾,

₂ ^𝑚 g⁽𝑛 + 𝑚 + 1⁾

4) 𝑃_𝑛,𝑚⁽𝑥⁾ = (1 − 𝑥
⁾ 2 2^𝑚g⁽𝑛 − 𝑚 + 1⁾g⁽𝑚 + 1^{) ∙}
1 − 𝑥

5) 𝐹 (𝑛 + 𝑚 + 1, 𝑚 − 𝑛; 𝑚 + 1; ) ;
2
_𝑥𝑣 ₂

6) 𝐽 ⁽𝑥⁾ = lim [ ² 𝐹 (𝑎, 𝑏; 𝜈 + 1; −𝑥
)] ;

^𝑣 𝑎,𝑏→∞
g⁽𝜈 + 1⁾

4𝑎𝑏

7) 𝐹⁽1, 𝛽; 𝛽; 𝑥⁾ = 1 + 𝑥 + 𝑥² + ⋯ + 𝑥^𝑛 + ⋯ = 1 ;
1 − 𝑥
8) 𝐹⁽−𝑚, 𝛽; 𝛽; 𝑥⁾ = ⁽1 + 𝑥^)𝑚;
𝐹⁽𝛼, 𝛽; 𝛽; −𝑥) − 1⁾

9) |
𝛼
𝛼=0
= log⁽1 + 𝑥⁾ ;

10) 𝐹⁽𝑛, 𝛽; 𝛽; 𝑥⁾ = ⁽1 + 𝑥⁾𝑛;
11) 𝐹⁽𝛼, 𝛽; 𝛽; 𝑥⁾ = ⁽1 − 𝑥^)−𝛼;
1

12) 𝑥𝐹⁽1,1; 2; 𝑥⁾ = ln
;
1 − 𝑥

1
13) 2𝑥𝐹 (
2
3
, 1;
2
; 𝑥
²) = ln 1 + 𝑥 ;
1 − 𝑥

14) lim 𝐹(1, 𝑏; 1; 𝑥^⁄𝑏) = 𝑒 ^𝑥;
𝑏→0
15) 𝐹 (𝑘 + 1, −𝑘; 1; ^1−𝑥) = 𝑃



⁽𝑥⁾, bu erda 𝑃


⁽𝑥⁾ − lejandr ko‘phadi;

16. 
    lim
    

𝑎,𝑏→0

𝐹 (𝑎, 𝑏; 𝜈 + 1; −

2
_𝑥2



4𝑎𝑏
𝑘 𝑘

) = 𝐽_𝑣⁽𝑥⁾,

𝐽_𝑣⁽𝑥⁾ − besel funksiyasi;

1 1
17) 𝑥𝐹 ( ,
2 2
3
; ; 𝑥 2
²) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥;

1
18) 𝑥𝐹 (
2
3
, 1;
2
; −𝑥
²) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥;

𝜈 𝜈
19) 𝐹 ( , −
2 2
1
; ; 𝑥 2
²) = cos⁽𝜈𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥⁾ ;

1 + 𝜈 1 − 𝜈
20) 𝜈𝑥𝐹 ( ,
3
; ; 𝑥
²) = 𝑠𝑖𝑛⁽𝜈𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥⁾ ;

2 2 2
₁ 1

21) 𝐹 (
2
, 1; 1; 𝑥) = ⁽1 − 𝑥⁾⁻²;

22) 𝐹⁽−𝑛, 1; 1; 1 − 𝑥⁾ = 𝑥^𝑛;
𝛼 𝛼⁽𝛼 + 1⁾


( ) ²

23) 𝐹
𝛼, −2; 𝛾; 𝑥 = 1 − 2 𝑥 + 𝑥 ;
𝛾 𝛾⁽𝛾 + 1⁾

24) 𝐹 (𝛼, 𝛼 +

1
; 2𝛼 + 1; 𝑥) = [
2
1 + ⁽1 − 𝑥^)1⁄2
2
−2𝛼
] ;

25) 𝐹 (𝛼, 𝛼 +

1 ; 2𝛼; 𝑥) = ⁽1 − 𝑥^)−1⁄2 [
2
1 + ⁽1 − 𝑥^)1⁄2
2
1−2𝛼
] ;

1 3
26) 𝐹 ( ,
2 1 1
; ; ) = .

4 4 3
3
_√√ ⁴ + ³√4 + 4 − ^√2 − ³√4 − 2
^{√2 − 3}√⁴

yuqorida keltirilganlardan xulosa qilib, shuni aytishimiz mumkinki, gipergeometrik funksiyalarning eng ko‘p qo‘llaniladigan sohalaridan biri matematikaning differensial tenglamalar sohasi hisoblanadi. hozirgi vaqtda differensial tenglamalar nazariyasi bilan bir qatorda, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasining muhim yo‘nalishlaridan

biri - qaralayotgan sohada buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan tenglamalarni o‘rganish ham jadal rivojlanib bormoqda. ikkinchi tomondan buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan tenglamalarning echimlari mexanika, fizika va texnika masalalarida keng ko‘lamli tarzda amaliyotda tadbiq etilishi katta qiziqish uyg‘otadi.
buzilish chizig‘iga ega tenglamalar deb qaralayotgan sohaning ichida elliptik, soha chegarasida parabolik (yoki soha ichida giperbolik, soha chegarasida parabolik) tipga tegishli bo‘lgan tenglamalarga aytiladi. bu tipdagi tenglamalar uchun dirixle va neyman (elliptik tip uchun) hamda koshi
- gursa (giperbolik tip uchun) masalalarining echimlari gipergeometrik funksiyalar orqali ifodalanadi.
jumladan, f.frankl yassi devorli idishdan tovush tezligidan yuqori tezlikda suyuqlik yoki gazning oqib chiqish (idish ichida tezlik tovush tezligidan past) masalasi a.s.chaplыginning
𝐾(𝑦)𝑈_𝑥𝑥 + 𝑈_𝑦𝑦 = 0 (𝐾⁽0⁾ = 0, 𝐾^′(u) > 0)
tenglamasi uchun chegaraviy masalaga kelishi ko‘rsatilgan.
ushbu tenglamalar tipiga kiruvchi quyidagi tenglamani qaraylik:
−(−𝑦)^𝑚𝑈_𝑥𝑥 + 𝑥^𝑚𝑈_𝑦𝑦 = 0.
ushbu tenglama buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan tenglamalarga kiradi.
tenglamani xarakteristik koordinatalarga o‘tkazsak
𝛽
𝑈_𝑦 − _{𝜂 − 𝜉} (𝑈_𝑦 − 𝑈) = 0
bo‘ladi, bunda √𝜉 = 𝑥^𝑝 − ⁽−𝑦^)𝑝, _√𝜂 = 𝑥^𝑝 + ⁽−𝑦^)𝑝, 𝑝 = 𝑚 + 2.
agar tenglamada 𝑡 = 𝜉^⁄𝜂 almashtirish bajarsak, tegishli parametrlar
orqali ifodalangan (1) tenglama – gipergeometrik tenglamaga kelamiz.
ushbu xususiy hosilali differensial tenglama uchun koshi masalasining echimi riman funksiyasi
⁽𝜂^′ − 𝜉^′)2𝛽

𝑉⁽𝜉^′, 𝜂^′; 𝜉, 𝜂⁾ =
⁽𝜂– 𝜉^′)𝛽(𝜂^′ − 𝜉^{)𝛽 (}𝜂 − 𝜂^′)(𝜉^′ − 𝜉)
𝐹⁽𝛽, 𝛽, 1, 𝑧⁾,

^{𝑧 = (}𝜂^′ − 𝜉⁾⁽𝜂 − 𝜉^′)
orqali yoziladi [2], bu erda 2𝛽 = 𝑚^⁄(𝑚 + 2⁾.
bu esa gipergeometrik tenglama, uning echimlari va gipergeometrik funksiyalarning keng amaliy ahamiyatga egaligini ko‘rsatadi.
[2-23] ilmiy izlanishlarda gipergeometrik tenglamalar va gipergeometrik funksiyalarning amaliy ahamiyati hamda oddiy differensial tenglamalar ishtirok etgan bog‘liq masalalar ishlangan va ular haqida kengroq ma'lumotlar berilgan.

shu o‘rinda aytish lozimki, ilmiy ishlarni o‘rganish va tahlil qilish talabalar uchun bir qator qiyinchiliklar tug‘diradi. shu sababli ushbu maqolada talabalarning ilmiy maqolalarni o‘rganishlarini osonlashtirish uchun matematikani fanini o‘qitishga bag‘ishlangan ilg‘or pedagogik texnologiyalarning [24-30] ayrim elementlari ham qo‘llanildi.