Gravitatsiya va boshqa ters-kvadrat misollar

=== Gravitatsiya va boshqa ters-kvadrat misollar ===

Ikki tanali muammo astronomiyada qiziq, chunki juft astronomik ob'ektlar ko'pincha arbitr yo'nalishlarda tez harakatlanmoqda (shuning uchun ularning harakatlari qiziqarli bo'lib qoladi), bir-biridan keng ajraladi (shuning uchun ular to'qnashmaydi) va boshqa ob'ektlardan yanada kengroq ajraladi (shuning uchun tashqi ta'sirlar xavfsiz e'tiborsiz qoladigan darajada kichik bo'ladi).

[[Gidravlika]] kuchi ostida bunday ob'ektlar juftining har bir a'zosi o'zaro massa markazini elliptik shaklda aylanib chiqadi, agar ular bir-biridan butunlay qutulish uchun yetarlicha tez harakatlanmasa, bu holda ularning yo'llari boshqa planar [[konik bo'lim]]lar bilan birga bo'linib ketadi. Agar bir ob'ekt ikkinchisiga qaraganda juda og'ir bo'lsa, u massaning umumiy markaziga ishora qilib, ikkinchisidan ancha kam harakatlanadi. Massaning o'zaro markazi hatto kattaroq ob'ekt ichida bo'lishi mumkin.

Muammoning yechimlarini hosil qilish uchun [[Klassik markaziy-kuch muammosi]] yoki [[Kepler muammosi]] ga qarang.

Prinsipda bir xil yechimlar ob'ektlar bilan bog'liq makroskopik muammolarga nisbatan qo'llaniladi. Ular nafaqat gidravlika orqali, balki boshqa har qanday chiroyli [[skalyar potensial|skalyar kuch maydoni]] orqali [[inverse-kvadrat qonun]] ga bo'ysunadi, [[Koulomb qonuni|elektrostatik attraksion]] yaqqol fizik misol bo'ladi. Amalda bunday muammolar kamdan-kam hollarda yuzaga keladi. Eksperimental apparat yoki boshqa maxsus jihozlardan tashqari, biz kamdan-kam hollarda elektrostatik jihatdan etarlicha tez harakatlanadigan ob'ektlarga duch kelamiz va bunday yo'nalishda, to'qnashmaslik uchun va / yoki ularning atrofidan etarlicha ajratilgan.

Torli ta'sirida ikki jismli tizimning dinamik sistemasi [[Sturm–Liouville nazariyasi| Sturm-Liouville tenglamasi]].{{cite journal |last1=Luo |first1=Siwei |title=The Sturm-Liouville problem of two-body system |journal=Journal of Physics Communications | date=22 Iyun 2020 |volume=4 |issue=6 |page=061001 |doi=10.1088/2399-6528/ab9c30|bibcode=2020JPhCo... 4f1001L |doi-access=free }}

=== Atom va subatomik zarralarga qo'llanishsizlik ===

Ikki tanali model ob'ektlarga nuqta zarralari sifatida qarasa-da, klassik mexanika faqat makroskopik miqyosdagi tizimlarga nisbatan qo'llaniladi. Subatomik zarralarning aksariyat xatti-harakatlari "mumkin emas", bu maqolaning mazmunidagi klassik taxminlar ostida yoki bu erda matematikadan foydalanish.

Atomdagi [[Elektron]]lar ba'zan uning [[atom yadrosi|yadrosi]ning [[Bohr modeli|erta taxmin]] dan so'ng «orbitalash» deb ta'riflanadi (bu «[[Atom orbital|orbital]]] atamasining manbaidir). Biroq, elektronlar aslida yadrolarni hech qanday ma'noda aylanib o'tmaydi va [[kvant mexanikasi]] elektronning haqiqiy xulq-atvorini har qanday foydali tushunish uchun zarurdir. Atom yadrosi atrofida aylanayotgan elektron uchun klassik ikki jismli muammoni hal qilish adashtirmoqda va ko'plab foydali tushunchalar hosil qilmaydi.

== Gravitasiya va boshqa ters-kvadrat misollar ===

Ikki tanali muammo astronomiyada qiziq, chunki juft astronomik ob'ektlar ko'pincha arbitr yo'nalishlarda tez harakatlanmoqda (shuning uchun ularning harakatlari qiziqarli bo'lib qoladi), bir-biridan keng ajraladi (shuning uchun ular to'qnashmaydi) va boshqa ob'ektlardan yanada kengroq ajraladi (shuning uchun tashqi ta'sirlar xavfsiz e'tiborsiz qoladigan darajada kichik bo'ladi).

[[Gidravlika]] kuchi ostida bunday ob'ektlar juftining har bir a'zosi o'zaro massa markazini elliptik shaklda aylanib chiqadi, agar ular bir-biridan butunlay qutulish uchun yetarlicha tez harakatlanmasa, bu holda ularning yo'llari boshqa planar [[konik bo'lim]]lar bilan birga bo'linib ketadi. Agar bir ob'ekt ikkinchisiga qaraganda juda og'ir bo'lsa, u massaning umumiy markaziga ishora qilib, ikkinchisidan ancha kam harakatlanadi. Massaning o'zaro markazi hatto kattaroq ob'ekt ichida bo'lishi mumkin.

Muammoning yechimlarini hosil qilish uchun [[Klassik markaziy-kuch muammosi]] yoki [[Kepler muammosi]] ga qarang.

Prinsipda bir xil yechimlar ob'ektlar bilan bog'liq makroskopik muammolarga nisbatan qo'llaniladi. Ular nafaqat gidravlika orqali, balki boshqa har qanday chiroyli [[skalyar potensial|skalyar kuch maydoni]] orqali [[inverse-kvadrat qonun]] ga bo'ysunadi, [[Koulomb qonuni|elektrostatik attraksion]] yaqqol fizik misol bo'ladi. Amalda bunday muammolar kamdan-kam hollarda yuzaga keladi. Eksperimental apparat yoki boshqa maxsus jihozlardan tashqari, biz kamdan-kam hollarda elektrostatik jihatdan etarlicha tez harakatlanadigan ob'ektlarga duch kelamiz va bunday yo'nalishda, to'qnashmaslik uchun va / yoki ularning atrofidan etarlicha ajratilgan.

Torli ta'sirida ikki jismli tizimning dinamik sistemasi [[Sturm–Liouville nazariyasi| Sturm-Liouville tenglamasi]].{{cite journal |last1=Luo |first1=Siwei |title=The Sturm-Liouville problem of two-body system |journal=Journal of Physics Communications | date=22 Iyun 2020 |volume=4 |issue=6 |page=061001 |doi=10.1088/2399-6528/ab9c30|bibcode=2020JPhCo... 4f1001L |doi-access=free }}

== Atom va subatomik zarralarga qo'llanishsizlik ===

Ikki tanali model ob'ektlarga nuqta zarralari sifatida qarasa-da, klassik mexanika faqat makroskopik miqyosdagi tizimlarga nisbatan qo'llaniladi. Subatomik zarralarning aksariyat xatti-harakatlari "mumkin emas", bu maqolaning mazmunidagi klassik taxminlar ostida yoki bu erda matematikadan foydalanish.

Atomdagi [[Elektron]]lar ba'zan uning [[atom yadrosi|yadrosi]ning [[Bohr modeli|erta taxmin]] dan so'ng «orbitalash» deb ta'riflanadi (bu «[[Atom orbital|orbital]]] atamasining manbaidir). Biroq, elektronlar aslida yadrolarni hech qanday ma'noda aylanib o'tmaydi va [[kvant mexanikasi]] elektronning haqiqiy xulq-atvorini har qanday foydali tushunish uchun zarurdir. Atom yadrosi atrofida aylanayotgan elektron uchun klassik ikki jismli muammoni hal qilish adashtirmoqda va ko'plab foydali tushunchalar hosil qilmaydi.

=== Ko'chirish vektori harakat (2-bir tana muammo)===
Ikkala kuch tenglamasini tegishli massivlar bo'yicha bo'lish, ikkinchi tenglamani birinchisidan chiqarish va qayta tartiblash tenglamani beradi

\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \ng) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}

biz yana ishlatgan joy [[Nyutonning uchinchi qonuni]] {{math|1=''F'₁₂ = −'''F''₂₁}} va qaerda {{math|'' r''}} yuqorida aniqlanganidek 2-massivdan 1-massivgacha bo'lgan [[Ko'chirish (vektor)|ko'chish vektori]] hisoblanadi.

Ikki ob'ektda paydo bo'lgan ikki ob'ekt orasidagi kuch faqat ularning ayirmasi {{math|'' funksiyasi bo'lishi kerak r''''}} va ularning mutlaq pozitsiyalaridan emas {{math|'' x'''₁}} va {{math|'' x''₂}}; bo'lmasa [[translyatsion simmetriya]] bo'lmas edi, fizika qonunlari joydan-joyga o'zgarishi kerak edi. Shuning uchun chiqarib qo'yiluvchi tenglamani yozish mumkin:

$$\backslash mu\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_\{12\}(\backslash mathbf\{x\}\_\{1\},\backslash mathbf\{x\}\_\{2\})\; =\; \backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$$
bu erda $\backslash mu$ ''''[[kamaytirilgan massa]]''
$$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{1\}\{m\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{m\_2\}\}\; =\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}.$$

{{math|'' uchun tenglamani yechish r''''('t''')}} ikki tanali muammoning kalitidir. Yechim jismlar orasidagi aniq kuchga bog'liq bo'lib, u $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ bilan aniqlanadi. $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ [[teskari-kvadrat qonun]] ga amal qiladigan holat uchun [[Kepler muammosi]] ga qarang.

Bir marta {{math|'' R''''('t''')}} va {{math|'' r''('t')}} aniqlandi, dastlabki traektoriyalar olinishi mumkin
$$\backslash mathbf\{x\}\_1(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; +\; \backslash frac\{m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
$$\backslash mathbf\{x\}\_2(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; -\; \backslash frac\{m\_1\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
bu ikki tenglamaning o'ng tomonlariga '''R''' va '''r''' atamalarini almashtirish orqali tekshirilishi mumkin.
== Ikki mustaqil, bir tana muammolariga kamaytirish ==

{{Dublyaj|date=iyun 2019|bo'lim=ha|dupe=Klassik markaziy-kuch muammosi#Klassik ikki jismli muammoga munosabat}}

To'liq ikki jismli muammoni ikki bir tanali muammo sifatida qayta shakllantirish orqali hal qilinishi mumkin: arzimas va tashqi [[potentsial]] bir zarrachaning harakatini hal qilishni o'z ichiga olgan. Ko'p bir tanali muammolarni aniq hal qilish mumkin bo'lganligi sababli, tegishli ikki tanali muammoni ham hal qilish mumkin.

[[Fayl:Ikki jismli Jacobi koordinatalari.JPG|thumb|300px| [[Jacobi coordinates]] ikki tanali muammo uchun; Jacobi koordinatalari $\backslash boldsymbol\{R\}=\backslash frac\; \{m\_1\}\{M\}\; \backslash boldsymbol\{x\}\_1\; +\; \backslash frac\; \{m\_2\}\{M\}\; \backslash boldsymbol\; \{\{x\}\_2$ va $\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash boldsymbol\{x\}\_1\; -\; \backslash boldsymbol\{x\}\_1\; -\; \backslash boldsymbol\{x\}\_2$ bilan $M\; =\; m\_1+m\_2\; \backslash$.{{cite book|title=Differential E tenglamalar| muallif=David Betounes|url=https://archive.org/details/differentialequa00000beto|url-access=registration| isbn=0-387-95140-7 | page= 58; Rasm 2.15|date=2001|publisher=Springer}}]]

{{math|'' bo'lsin x'''₁}} va {{math|'' x'₂}} ikki jismning vektorli pozitsiyalari bo'lsin va ''m'₁ va ''m'₂ ularning massivlari bo'lsin. Maqsad {{math|'' traektoriyalarini aniqlash x'''₁('t''')}} va {{math|'' x''''₂('t'')}} hamma vaqt uchun ''t''', boshlang'ich pozitsiyalar berilgan {{math|1=''x'₁>('t'' = 0)}} va {{math|1='''x'<_{2< >/sub>('t'' = 0)}} va boshlang'ich chastotalar {{math|1='''v'1 ('t'' = 0)}} va {{math|1='''v''2('t'' = 0)}}.}

Ikki massivga nisbatan qo'llanilganda [[Nyutonning harakat qonunlari#Nyutonning ikkinchi qonuni| Nyutonning ikkinchi qonuni]] shuni ta'kidlaydiki,

{{NumBlk|| $$\backslash mathbf\{F\}\_\{12\}(\backslash mathbf\{x\}\_\{1\},\backslash mathbf\{x\}\_\{2\})\; =\; m\_\{1\}\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{1\}$$| {{TenglamaRef|1}}}} tenglamasi
{{NumBlk|| $$\backslash mathbf\{F\}\_\{21\}(\backslash mathbf\{x\}\_\{1\},\backslash mathbf\{x\}\_\{2\})\; =\; m\_\{2\}\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{2\}$$| {{TenglamaRef|2}}}} tenglamasi

bu yerda ''F'''₁₂ massiv 2 bilan o'zaro ta'siri tufayli 1-massivdagi kuch bo'lib, ''F''₂₁ massa bilan o'zaro ta'siri tufayli 2 massadagi kuchdir. ''x'' pozitsiya vektorlarining ustidagi ikkita nuqta vaqtga nisbatan ikkinchi derivativini, ya'ni ularning tezlanish vektorlarini bildiradi.

Bu ikki tenglamani qo'shish va chiqarib tashlash ularni ikki bir tanali muammoga ajratib turadi, buni mustaqil ravishda hal qilish mumkin. ''Qo'shish'' tenglamalari (1) va ({{EquationNote|2}}) natijasida [[massa markazi]] ([[barycenter]]) harakatini tavsiflovchi tenglama natija beradi. Farqli o'laroq, ''chiqarish'' tenglamasi (2) tenglamadan (1) qanday qilib {{math|1='''r'' = 'x'' vektorini ifodalovchi tenglamaga olib keladi <>>1 − '''x'₂}} massalar orasidagi o'zaro vaqt bilan o'zgaradi. Ushbu mustaqil bir jismli muammolarning yechimlarini birlashtirib, traektoriyalar yechimini olish mumkin {{math|'' x'''₁('t''')}} va {{math|'' x''₂('t'')}}.

=== Ommaviy harakat markazi (1-bir tana muammosi) ===

$\backslash mathbf\{R\}$ sistemaning [[mass]] markazining ([[barycenter]]]) pozitsiyasi bo'lsin. Kuch tenglamalarining qo'shilishi (1) va (2) hosilalarning
m_1 \ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
foydalangan joyimiz [[Nyutonning harakat qonunlari| Nyutonning uchinchi qonuni]] {{math|1=''F'''₁₂ = −''F''₂₁}} va qayerda
$$\backslash ddot\{\backslash mathbf\{R\}\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{m\_\{1\}\backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{1\}\; +\; m\_\{2\}\backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{2\}\}\{m\_\{1\}\; +\; m\_\{2\}\}.$$

Hosil bo'lgan tenglama:

$$\backslash ddot\{\backslash mathbf\{R\}\}\; =\; 0$$
massiv markazining tezligi $\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash frac\{dR\}\{dt\}$ doimiy ekanligini ko'rsatadi. Shundan kelib chiqqan holda umumiy momentum {{math|'' m''₁ '''v'₁ + ''m''< sub>2 '''v'₂}} ham doimiy ([[harakatni muhofaza qilish]]]) hisoblanadi. Shunday qilib, {{math|'' maqomi Massiv markazining R'('t'')}} boshlang'ich pozitsiya va velosalardan har doim aniqlanishi mumkin.

=== Ko'chirish vektori harakat (2-bir tana muammo)===

Ikkala kuch tenglamasini tegishli massivlar bo'yicha bo'lish, ikkinchi tenglamani birinchisidan chiqarish va qayta tartiblash tenglamani beradi

\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \ng) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}

biz yana ishlatgan joy [[Nyutonning uchinchi qonuni]] {{math|1=''F'₁₂ = −'''F''₂₁}} va qaerda {{math|'' r''}} yuqorida aniqlanganidek 2-massivdan 1-massivgacha bo'lgan [[Ko'chirish (vektor)|ko'chish vektori]] hisoblanadi.

Ikki ob'ektda paydo bo'lgan ikki ob'ekt orasidagi kuch faqat ularning ayirmasi {{math|'' funksiyasi bo'lishi kerak r''''}} va ularning mutlaq pozitsiyalaridan emas {{math|'' x'''₁}} va {{math|'' x''₂}}; bo'lmasa [[translyatsion simmetriya]] bo'lmas edi, fizika qonunlari joydan-joyga o'zgarishi kerak edi. Shuning uchun chiqarib qo'yiluvchi tenglamani yozish mumkin:

$$\backslash mu\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_\{12\}(\backslash mathbf\{x\}\_\{1\},\backslash mathbf\{x\}\_\{2\})\; =\; \backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$$
bu erda $\backslash mu\; \text{'}\text{'}\text{'}\text{'}[[kamaytirilgan\; massa]]\text{'}\text{'}$
$$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{1\}\{m\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{m\_2\}\}\; =\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}.$$

{{math|'' uchun tenglamani yechish r''''('t''')}} ikki tanali muammoning kalitidir. Yechim jismlar orasidagi aniq kuchga bog'liq bo'lib, u $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ bilan aniqlanadi. $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ [[teskari-kvadrat qonun]] ga amal qiladigan holat uchun [[Kepler muammosi]] ga qarang.

Bir marta {{math|'' R''''('t''')}} va {{math|'' r''('t')}} aniqlandi, dastlabki traektoriyalar olinishi mumkin
$$\backslash mathbf\{x\}\_1(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; +\; \backslash frac\{m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
$$\backslash mathbf\{x\}\_2(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; -\; \backslash frac\{m\_1\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
bu ikki tenglamaning o'ng tomonlariga '''R''' va '''r''' atamalarini almashtirish orqali tekshirilishi mumkin.

=== Ommaviy harakat markazi (1-bir tana muammosi) ===

$\backslash mathbf\{R\}$ sistemaning [[mass]] markazining ([[barycenter]]]) pozitsiyasi bo'lsin. Kuch tenglamalarining qo'shilishi (1) va (2) hosilalarning
m_1 \ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
foydalangan joyimiz [[Nyutonning harakat qonunlari| Nyutonning uchinchi qonuni]] {{math|1=''F'''₁₂ = −''F''₂₁}} va qayerda
$$\backslash ddot\{\backslash mathbf\{R\}\}\; \backslash equiv\; \backslash frac\{m\_\{1\}\backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{1\}\; +\; m\_\{2\}\backslash ddot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_\{2\}\}\{m\_\{1\}\; +\; m\_\{2\}\}.$$

Hosil bo'lgan tenglama:

$$\backslash ddot\{\backslash mathbf\{R\}\}\; =\; 0$$
massiv markazining tezligi $\backslash mathbf\{v\}\; =\; \backslash frac\{dR\}\{dt\}$ doimiy ekanligini ko'rsatadi. Shundan kelib chiqqan holda umumiy momentum {{math|'' m''₁ '''v'₁ + ''m''₂ ''''v'₂}} ham doimiy ([[harakatni muhofaza qilish]]]) hisoblanadi. Shunday qilib, {{math|'' maqomi Massiv markazining R'('t'')}} boshlang'ich pozitsiya va velosalardan har doim aniqlanishi mumkin.

=== Ko'chirish vektori harakat (2-bir tana muammo)===

Ikkala kuch tenglamasini tegishli massivlar bo'yicha bo'lish, ikkinchi tenglamani birinchisidan chiqarish va qayta tartiblash tenglamani beradi

\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \ng) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}

biz yana ishlatgan joy [[Nyutonning uchinchi qonuni]] {{math|1=''F'₁₂ = −'''F''₂₁}} va qaerda {{math|'' r''}} yuqorida aniqlanganidek 2-massivdan 1-massivgacha bo'lgan [[Ko'chirish (vektor)|ko'chish vektori]] hisoblanadi.

Ikki ob'ektda paydo bo'lgan ikki ob'ekt orasidagi kuch faqat ularning ayirmasi {{math|'' funksiyasi bo'lishi kerak r''''}} va ularning mutlaq pozitsiyalaridan emas {{math|'' x'''₁}} va {{math|'' x''₂}}; bo'lmasa [[translyatsion simmetriya]] bo'lmas edi, fizika qonunlari joydan-joyga o'zgarishi kerak edi. Shuning uchun chiqarib qo'yiluvchi tenglamani yozish mumkin:

$$\backslash mu\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_\{12\}(\backslash mathbf\{x\}\_\{1\},\backslash mathbf\{x\}\_\{2\})\; =\; \backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$$
bu erda $\backslash mu\; \text{'}\text{'}\text{'}\text{'}[[kamaytirilgan\; massa]]\text{'}\text{'}$
$$\backslash mu\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash frac\{1\}\{m\_1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{m\_2\}\}\; =\; \backslash frac\{m\_1\; m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}.$$

{{math|'' uchun tenglamani yechish r''''('t''')}} ikki tanali muammoning kalitidir. Yechim jismlar orasidagi aniq kuchga bog'liq bo'lib, u $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ bilan aniqlanadi. $\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})$ [[teskari-kvadrat qonun]] ga amal qiladigan holat uchun [[Kepler muammosi]] ga qarang.

Bir marta {{math|'' R''''('t''')}} va {{math|'' r''('t')}} aniqlandi, dastlabki traektoriyalar olinishi mumkin
$$\backslash mathbf\{x\}\_1(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; +\; \backslash frac\{m\_2\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
$$\backslash mathbf\{x\}\_2(t)\; =\; \backslash mathbf\{R\}\; (t)\; -\; \backslash frac\{m\_1\}\{m\_1\; +\; m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}(t)$$
bu ikki tenglamaning o'ng tomonlariga '''R''' va '''r''' atamalarini almashtirish orqali tekshirilishi mumkin.

== Ikki jismli harakat planar ==

Bir-biriga nisbatan ikki jismning harakati doimo samolyotda ([massa ramkasining markazida]] yotadi.

Isbot: [[chiziqli harakat]] {{math|'' ni tasniflash p''''}} va [[agular momentum]] {{math|'' sistemaning L''''}} massa markaziga nisbatan, tenglamalar bo'yicha

$$\backslash mathbf\{L\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{p\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mu\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\},$$

qaerda {{mvar|μ}} bo'lgan [[qisqartirilgan massiv]] va {{math|'' r''''}} nisbiy pozitsiyasi {{math|'' r''''₂ − ''''r'₁}} (bu yozilganlar bilan massa markazini kelib chiqishi sifatida olib, shu tariqa ikkalasi ham {{math|'' ga parallel r''}}) angular harakatining o'zgarish ko'rsatkichlari {{math|'' L''''}} to'riga tenglashadi [[torque]] {{math|'' N'''}}

$$\backslash mathbf\{N\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{L\}\}\{dt\}\; =\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; \backslash \; times\; \backslash mu\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; +\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mu\backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; \backslash \; ,$$
va {{math|1=''v' × ''w' = ''0'}} har qanday vektorlar uchun {{math|'' bo'lgan [[vektorli xoch mahsuloti]] ning mulkidan foydalanib v''''}} va {{math|'' w''''}} aynan shu yo'nalishda ishora qilib,

$$\backslash mathbf\{N\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{L\}\}\{dt\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash \; ,$$
{{math|1=''F''' = ''μ''' ' bilan d''{{i sup|2}'''r'''/'dt'''{{i sup|2}}}}.

Taxminni kiritish (aksariyat jismoniy kuchlarga to'g'ri keladi, ular bo'ysunganidek [[Nyutonning harakat qonunlari| Nyutonning harakatning kuchli uchinchi qonuni]]) ikki zarracha orasidagi kuchning o'z pozitsiyalari orasidagi chiziq bo'ylab harakat qilishi, uning ortidan {{math|1=''r'' × ''F' = ''0'}} va [[harakatning [[harakatning muhofazasi|agular momentum vektori {{math|'' L''''}} doimiy]] (konservatsiya qilinadi). Shuning uchun ko'chirish vektori {{math|'' r''}} va uning tezligi {{math|'' v'''}} doimiy vektorga [[perpendikulyar]] doimo [{math|'' L'''}}.

== Ikki tanali tizimning energiyasi ==

Agar kuch {{math|'' F'''''(''r')}} – [[Konservativ kuch|konservativ]] u holda sistemada [[potensial energiya]] {{math|'' U'''(''r')}}, shuning uchun umumiy [[Mexanik energiya|energiya]] deb yozish mumkin

$$E\_\backslash text\{tot\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; m\_1\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_1^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; m\_2\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{x\}\}\_2^2\; +\; U(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (m\_1\; +\; m\_2)\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{R\}\}^2\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash mu\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\}^2\; +\; U(\backslash mathbf\{r\})$$

Massa ramkasi markazida [[Kinetik energiya#Ma'lumot ramkasi|kinetik energiya]] eng past va umumiy energiya bo'lib qoladi

$$E\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash mu\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}^2\; +\; U(\backslash mathbf\{r\})$$
{{math|'' koordinatalari x'''₁}} va {{math|'' x'''₂}} deb ifodalash mumkin
$$\backslash mathbf\{x\}\_1\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\}\{m\_1\}\; \backslash mathbf\{r\}$$
$$\backslash mathbf\{x\}\_2\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash mu\}\{m\_2\}\; \backslash mathbf\{r\}$$
va shunga o'xshash tarzda ''E'' energiyasi {{math|' energiyalari bilan bog'liq E''₁}} va {{math|'' E'₂}} bo'lib, unda har bir jismning kinetik energiyasi alohida bo'ladi:
$$\backslash begin\{align\}$$
E_1 & = \frac{\mu}{m_1} E = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{x}}_1^2 + \frac{\mu}{m_1} U(\mathbf{r}) \\[4pt]
E_2 & = \frac{\mu}{m_2} E = \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{x}}_2^2 + \frac{\mu}{m_2} U(\mathbf{r}) \\[4pt]
E_\matn{tot} & = E_1 + E_2
\end{align}

== Markaziy kuchlar ==

{{asosiy| Klassik markaziy-kuch muammosi}}

Ko'pgina fizik muammolar uchun kuch {{math|1=''F'''(''R')}} a [[markaziy kuch]], ya'ni u shakldan

$$\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; F(r)\backslash hat\{\backslash mathbf\{r\}\}$$
qaerda {{math|1=''r'' = {{abs|'' r''''}}} va {{math|1='''r̂''' = '''r'/'r''}} — tegishli [[birlik vektori]]. Endi bizda:
$$\backslash mu\; \backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}\; =\; \{F\}(r)\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{r\}\}\; \backslash \; ,$$
qaerda ''F'''(''r'') chiroyli kuch misolida manfiydir.