Gruppa tushunchasi

1-teorema. gruppa va uining istalgan sistemasi uchun ushbu tengliklar o`rinli:

.

Isboti. Masalan ,

.

ni isbotlamiz. Chap tomonning istalgan elementi dagi va elementlarning ko`paytmasi sifatida yana ga qarashli. Aksicha o`ng tomonning istalgan elementini ko`rinishda tasvirlasak, va ga asosan bo`ladi.

Xususiy xolda , sistema ning bitta elementini ifodalasa, ni xosil qilamiz. Yana bo`lishi ham mumkin. Bu vaqtda dir. Buni shaklda yozamiz. Demak , umuman , , bu yerda ixtiyoriy natural son.

2-teorema. Agar va lar gruppaelementlari va bu gruppaning qism gruppasi bo`lsa, u xolda va sistemalar yo o`zaro teng bo`ladi, yoki bitta ham umummiy elementga ega bo`lmaydi.

Isboti. va biror umummiy elementga ega, yani

(1)

(bunda ) deb faraz qilsak, (1) ing ikkala tomonini chapdan ga ko`paytirib, 1-teoremaga asosan ushbu tenglikka kelamiz:

yoki .

Demak, va sistemalar teng bo`lmasa, ular bitta ham umumiy elementga ega bo`lmaydi, chunki aks xolda kelib chiqadi.

Bundan keyin gruppaga qarashli sistemalarning birlashmasini ko`pincha ko`rinishda belgilaymiz.

Gruppa nazariyasida kommutativ gruppaning amali “+” ishora bilan belgilanadi. Bunday holda sistemalar ko`rinishda yozilgani uchun , ularning birlashmasini, birinchi bobda qabul qilinganidek, ko`rinihsda yozamiz.