Guruh talabasi Mamatqulov Lochinning “ ” fanidan

4-ta`rif.
Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x
o
nuqta (a, b)
intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi
bo`lib, shu intervalning x
o 
dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x
o
) 
tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x
o
) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng 
katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x
o
) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x
o
) berilgan ƒ(x) 
funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi. 
Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda 
tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun 
bu ta`rifga misollar ko`raylik. 
ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning 
chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki 
nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha 
kamaygan 
sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta 
qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi. 

---

4
1.
ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 
bo`lganda nolga, demak ƒ(x) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning 
eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha
katta miqdordir.
 ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, 
) funksiyaning qiymati + 
Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik 
qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi. 
5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning 
bir necha ichki nuqtasi: 
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va 
ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta 
qiymati deyiladi. 
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi
ƒ(x) 
funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi. 
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi 
(a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-
ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi. 
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib
shu intervalning biror x
o 
nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga 
erishsin. Agar ƒ`(x
o
) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, 
ya`ni ƒ`(x
o
)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x
o 
nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin
deylik, ya`ni Bundan agar x
o 
bo`lsa, 
Agar x>x
o 
bo`lsa, 
tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x
o
) hosila mavjud. 
Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki 
munosabatdan f`(x
o
)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi. 
1-teorima. Agar x
o 
nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun x
o
nuqta 

---

5
ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(x
o
) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas. 
Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa 
ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof
xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, 
yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud 
bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.
Ta`kidlab aytamizki, agar biror nuqtada yoki mavjud bo`lmasa, 
bundan x
o
nuqtaning ekstremum nuqta ekani kelib chiqmaydi. Jumladan, funksiya 
uchun hosila, ya`ni nuqtada mavjud va nolga teng. Ammo bu nuqta ekstremum 
nuqtasi emas. 
1-ta`rif. Biror sohada uzluksiz bo`lgan ƒ( ) funksiyaning hosilasini nolga 
aylantiradigan yoki hosila mavjud bo`lmaydigan nuqtalar stasionar(kritik)nuqtalar 
deyiladi. 
Mashqlar. Ushbu funksiyalarning stasionar nuqtalarini topish. 
2- teorema(ikkinchi qoida). f(x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo`lib , uning 
nuqtasida birinchi va ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo`lsin. 1) Agar va bo`lsa, u 
holda -maksimum nuqtasi bo`ladi; 2) Agar va bo`lsa, u holda minimum nuqtasi 
bo`ladi. 
Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari 
Ma`lumki, [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan funksiya shu kesmada o`zining eng 
katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Shu qiymatlarni qanday topish mumkin? 
Agar funksiya monoton bo`lsa (uning hosilasi o`z ishorasini saqlasa, ya`ni u yo 
manfiymas, yoki musbatmas bo`lsa), u holda funksiyaning eng katta va
eng kichik 
qiymatlari [a, b] kesmaning oxirlarida -x=a va x=b nuqtalarda bo`ladi. 
Agar funksiya monoton bo`lmasa (ya`ni uning hosilasi ishorasini o`zgartirsa), u 
holda funksiya ekstremumlarga ega bo`ladi. Bu holda eng katta va eng kichik 
qiymatlar ekstremumlar bilan bir xil bo`lishi mumkin, ma`lumki, ekstremumlar 
kritik nuqtalarda bo`ladi. 
Shunday qilib, funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini 

---

6
topish uchun: 
1.
funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash; 
2.
funksiyaning kritik nuqtalaridagi va kesmaning oxirlaridagi qiymatlarini 
hisoblash; 
3.
topilgan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlash kerak, ana
shu qiymatlar funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik 
qiymatlarini ifodalaydi. 
1-misol. funksiyaning [-2, 5] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini 
aniqlang. 
Yechish. a) Kritik nuqtalarni topamiz: hosilani hisoblaymiz: tenglamani yechamiz: 
berilgan kesmaga faqat nuqta kiradi. 
b) Funksiyaning x=1, x=-2, x=5 nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: 
v) topilgan qiymatlardan eng katta M ni va eng kichik m ni tanlaymiz : 
Shunday qilib, funksiyaning eng katta qiymati kesmaning x=5 o`ng oxirida ekan, 
eng kichik qiymati esa x=1 nuqtadagi minimum bilan bir xil ekan. 
2-misol. Tomoni a ga teng bo`lgan kvadrat shakldagi kartondan asosi to`g`ri 
to`rtburchak shaklda bo`lgan eng katta hajmli usti ochiq quti tayyorlang. 
Yechish. Odatda, kvadrat shakldagi kartonning burchaklaridan teng kvadratlarni 
qirqib va uning chetlarini buklab, ochiq to`g`ri to`tburchak shakldagi quti yasaladi.
Agar kesilgan kvadratlarning tomoni x desak, quti asosining tomoni a-2x, qutining 
balandligi esa x ga teng. U holda qutining hajmi 
bo`ladi. Masalaning shartidan ekani kelib chiqadi. Endi V funksiyani kesmada eng 
katta va eng kichik qiymatga sinash qoladi. ni topamiz, uni nolga tenglaymiz va 
kritik nuqtalarni aniqlaymiz : 
V funksiyaning nuqtalarda qiymatlarini hisoblaymiz: 
Shunday qilib, da funksiya eng katta qiymatga ega. Demak, eng katta hajm asos 
tomoni balandligi ga teng bo`lganda hosil bo`ladi. 

---

7