Guruh talabasi O’rinboyev Shohjahonning “Algebra va sonlar nazariyasi” fanidan

1-teorema. Har qanday n>0 darajali f(z) ko’phad

f(z)= a(z-z₁)(z-z₂)…(z-z_n) (9)

ko’rinishda ifodalanishi mumkin, bu yerda a son f(z) ko’phadning bosh koeffissenti, z₁, z₂, … , z_n sonlar esa uning ildizlari ( bu yerda har bir ildiz qancha karrali bo’lsa , shuncha marta hisoblangan). Bu ifoda ko’paytuvchilarning yozilish tartibi aniqligida yagonadir. ko’rinishda ifodalanishi mumkin , bu yerda a son f(z) ko’phadning bosh koeffissenti, z₁, z₂,… , z_n sonlar esa uning ildizlari ( bu yerda har bir ildiz qancha karrali bo’lsa , shuncha marta hisoblangan). Bu ifoda ko’paytuvchilarning yozilish tartibi aniqligida yagonadir.

ISBOT: 1- teoremaga asosan f(z) biror kompleks ildizga ega. Bezu teoremasiga asosan shunday f₁(z) ko’phad mavjudki, f(z)=(z-z₁)f₁(z). Ravshanki, f₁(z) ning darajasi n-1 ga teng. Agar n-1>0 bo’lsa, u holda f₁(z) ni ham shunga o’xshash ko’rinishda yozish mumkin: f₁(z)=(z-z₂)f₂(z), bu yerda f₂(z) ning darajasi n-2 ga teng. U holda

f(z) =(z-z₁)(z-z₂)f₂(z). Bu mulohazani n marta ishlatib , f(z)=(z-z₁)(z-z₂)…(z-z_n)f_n(z) ifodani olamiz. Bu yerdagi f_n(z) ko’phadning darajasi nolga teng bo’lib, u f(z) ko’phadning bosh koeffissientiga teng. Natijada (9) ifodani olamiz. Bu ifoda f(z) ko’phadning z₁ , …, z_n sonlardan farqli bo’lgan idizlari mavjud emasligini ko’rsatadi. f(z) ko’phadning (9) ko’rinishda ifodalanishi ko’paytuvchilarning yozilishi tartibi aniqligida yagonaligi quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

TEOREMA. F maydon ustidagi musbat darajali har bir unitar f(z) ko’phad F maydon ustida keltirilmaydigan unitar f(z) ko’phadlarning ko’paytmasi shaklida yozilishi mumkin. Bu ko’paytuvchilar ularning ko’paytmada yozilish tartibi aniqligida f ko’phad bo’yicha bir qiymatli topiladi.

(9) ifoda f(z) kompleks ko’phadning C maydon ustida keltirilmaydigan ko’paytuvchilarga yoyilmasini beradi. Agar f(z) ko’phadning z₁ ,… , z_n ildizlari ichida a son k marta uchrasa, u holda (9) ifodani f(z)=(z-a)^k g(z) ko’rinishida yozish mumkin. Bu yerda g(α) ≠ 0. Bu mulohazadan quyidagi natija kelib chiqadi.