Характеристика методов матекмтического описания установившегося режима сложной электрической системы

Характеристика методов матекмтического описания установившегося режима сложной электрической системы.
Простейшая электрическая система изучалась на основе элементарных математических соотношений и физических соображени. Система, содержащая ряд станций и разветвленную сеть, требует более сложного математического аппарата, который, вообще говоря, может быть различным, и вопрос о его правильном выборе является наиболее существенным при исследовании. Как указывалось ранее, для расчетов сложных электрических систем широкое применение получают матричные и графовые методы. Они оказываются удобным как для записи математических выражений и выявления свойтва схем замещения, так и для их преобразований. Свойства матиц используются при одновременном к решению поставленной задачи элементов топологии и теории графов. Облегчение, полуаемое при расчетах сложных электрических цепей, представляемых в виде схем замещения, во многом зависит от надлежащего подбора математической технике (ЦВМ, АВМ, гибридные машины и т.п.). Анализ сложных линейных систем, представленных электрическими схемами или схемами замещения, содержащих многие параметры режима (электрический расчет), получает наглядность и значительно упрощается при использовании топологических методов, пригодных для электрических схем или схем замещения. При электрическом расчете уже давно использовался математический аппарат матричной алгебры, но он стал действительно оправданным и выявил свои специфические преимущества, когда широко стали применяться машинные методы расчета, проводимые с помощью ЦВМ. Появление современных ЦВМ с новыми возможностями требует развития и форм математического анализа. К таким формам относится, в частности, метод анализа с помощью математических множеств, начинающий применяться наряду с известным методом матричной алгебры. Множество — это совокупность объектов любой природы, которые называются его элементами. Элементы становятся множеством, когда собираются в обособленную группу по заданному признаку. Для определения множества достаточно перечислить эти элементы или выразить характерный для них признак, т. е. указать характеристические свойства, которыми обладают только данные элементы множества. Известны теоремы и правила, определяющие порядок действий со множествами. При использовании аппарата теории множеств в задачах электрических расчетов схемы могут рассматриваться как некоторое множество их составных элементов — ветвей и многополюсников. В случае присвоения этим элементам соответствующих номеров получаются математические множества. Анализ схем с помощью указанных множеств требует определенного навыка действий с ними. Для этого необходимо знать основные определения и положения общей теории множеств, а также специфические особенности применяемой специальной категории множеств, отраженных в обозначениях элементов рассматриваемой схемы. Далее на основе теорем и правил можно проводить анализ электрических схем.
При использовании топологических методов многие исследования схем сложных электрических систем можно сделать более простыми. При этом весьма существенно то обстоятельство, что топологические методы расчета позволяют получать нужное решение без составления систем уравнений для схемы в целом.
Исходя из топологического анализа находятся способы приложения теории линейных графов к расчету электрических сетей. Они направлены главным образом на то, чтобы получить основные приемы для расчета обобщенных постоянных сети: найти узловые собственные и взаимные сопротивления, коэффициенты распределения токов и напряжений и т. д. Надо заметить, что такие решения, как правило, удаются. Работы в этом плане ведутся уже очень давно. Первые результаты в области установления связи линейного графа с функциями электрических сетей были даны еще Кирхгофом и Максвеллом. Широкое развитие эти методы получили в работах ряда исследователей. Определенные преимущества топологического анализа электрических сетей объясняются именно тем, что методы теории графов позволяют решать уравнения сети исходя непосредственно из топологии линейного графа, т. е. минуя процедуру расчета коэффициентов исходных уравнений, описывающих установившийся режим сети, и трудоемкую операцию обращения матриц высоких порядков. Интерес к методам теории графов особенно остро возник вновь в связи с развитием машинной вычислительной техники. Именно графовые методы оказались очень удобными при программировании задач анализа и синтеза электрических сетей для решений, осуществляемых на ЦВМ. Не пытаясь здесь излагать теорию графов и матриц, напомним некоторые основные положения этих методов применительно к задачам электрических систем. При решении такого рода задач любую электрическую линейную цепь с п входами (независимыми контурами или узловыми парами) и j элементами целесообразно описать системой линейных уравнений равновесия цепи вида

где и — переменные (приращения токов и напряжений); — коэффициенты системы уравнений (эквивалентные параметры цепи).
Любые входные или передаточные функции такой цепи независимо от выбора ее математической модели равны отношениям алгебраических дополнений квадратной матрицы n-го порядка коэффициентов системы уравнений равновесия (1-1). Так, определитель матрицы n-го порядка формально можно рассматривать как алгебраическое дополнение элемента , не входящего в матрицу. Следовательно, у различных методов анализа цепей имеются различные способы вычисления этих алгебраических дополнений, что практически существенно.
Система уравнений равновесия цепи вида (1-1) может рассматриваться как некоторая математическая модель физической системы, представленная в выбранной системе координат и позволяющая получить расчетные выражения для вычисления входных и передаточных функций цепи по алгебраическим дополнениям и определителю систем уравнений узловых напряжений и контурных токов многополюсной цепи.
Метод обобщенных токов и узловых напряжений позволяет, используя свойства матриц эквивалентных проводимостей, записанных в канонической системе координат, получить формулы для вычисления параметров режима цепи по алгебраическим дополнениям и определиделю матрицы. В соответствии с этим можно найти достаточно простой алгоритм для преобразования (свертывания) матрицы эквивалентных параметров и, следовательно, приведения системы уравнений (1-1) к системе с меньшим числом координат.
Система уравнений (1-1) может быть также топологически отображена направленным графом, т. е. графом, каждая дуга которого, направленная из l-й вершины в т-ю, однозначно соответствует элементу матрицы W лежащему на пересечении m-го столбца и l-й строки, а переменным д соответствуют вершины (источники графа) с исходящими из них дугами единичного веса. Преобразование системы уравнений типа (1-1) к специальному виду

соответствует преобразованию ее графа в некоторый другой направленный граф, который получил в литературе название сигнального графа, или графа потоков сигналов. Анализ цепей может проводиться путем свертывания сигнального графа и составления топологических уравнений, отображающих состояние цепи и соотношение между элементами.
В качестве особого графа можно рассматривать эквивалентную схему замещения цепи, составленную из идеальных двухполюсных элементов с параметрами R, L, С. Характер соединения ветвей этого графа можно отразить специальными символами. При этом эквивалентную схему замещения цепи, так же как и ее граф, можно считать математической моделью линейной цепи.
Приемы топологии, основанные на получении эквивалентных схем и их графов, облегчают нахождение алгебраических дополнений и определителей матриц эквивалентных параметров пассивной цепи по подграфам типа деревьев. При этом значительный интерес могут представлять модели линейной пассивной цепи, изображенной в виде структурных чисел и многочленов базисных подграфов. Имеется ряд способов вычисления функций пассивной цепи по математическим моделям подобного типа. Заметим без конкретизации, что многополюсная цепь может быть представлена соединением двух двухполюсников, параметры которых известны или легко определяются. Отыскивая параметры эквивалентных соединений этих двухполюсников, можно, используя полученные формулы, найти все искомые функции линейной цепи. Здесь может применяться как обычный способ свертывания (объединения) двух двухполюсников к эквивалентному двухполюснику, так и более общие способы определения параметров эквивалентного двухполюсника по матрице эквивалентных проводимостей или сопротивлений многополюсной цепи.
При расчетах схем замещения электрических систем возникают специфические задачи, появляющиеся при наличии обратной связи, действующей на отдельных элементах схемы. Здесь могут применяться соотношения, позволяющие определять возвратные разности и отношения коэффициентов передачи по замкнутой петле обратной связи и коэффициентов обратной связи цепей, имеющих в своём составе одноканальные и многоканальные обратные связи.
Преимущество анализа электрических цепей алгебраическими (матричными) методами заключается в четкой, легко формализуемой последовательности операций. Однако громоздкость вычислений миноров и определителей матриц высокого порядка, иногда недостаточная физическая наглядность, или, как говорят, обозримость, которая весьма существенна при решении практических задач, ограничивают применение рассматриваемого анализа. Использование топологических методов для анализа сложных электрических цепей также нежелательно из-за громоздкости перебора всех подграфов, вес которых определяет величины алгебраических дополнений и определителей матрицы, необходимых для вычисления функции цепи. Применение достаточно мощных современных вычислительных машин в значительной мере снимает трудности, связанные с громоздкостью вычислений. Затруднения, вызванные недостаточной наглядностью, преодолеваются путем специальной физической трактовки отдельных элементов матриц. Электрические цепи, представленные в виде схем замещения, на основе которых развивается матричный вычислительный аппарат, обычно рассматриваются инженером независимо от физических свойств той реальной установки, для которой эти схемы замещения составлены. Как правило, исключаются из рассмотрения геометрические свойства системы, представленной электрической цепью. Эти свойства могут быть отражены только в условной последовательности элементов схемы замещения. Пусть, например, на рис. 1-11 эти свойства отражаются во взаимном расположении узлов А, В, С, D, Е, F, ветвей АВ, ВС, СА и других ветвей, соединяющих каждую пару узловых точек. Геометрическая схема, число узлов и ветвей которой конечно, называется конечной геометрической схемой. Если ветвям геометрической схемы приписаны определенные положительные направления, то геометрическая схема называется ориентированной. При этом знаком «+» обозначаются ветви, взятые в положительном направлении, и знаком «-» — взятые в отрицательном направлении (например, на рис. 1-11 ветвь АВ = -ВА).
В тех случаях, когда из одной любой узловой точки схемы замещения можно попасть в другую любую ее узловую точку, переходя по ветвям, соединяющим эти узловые точки, считают, что схема замещения является связанной. Если такой переход невозможен, то схема называется несвязанной. Несвязанная схема распадается на несколько связанных подсхем.

Разделимой называется схема, в которой имеются узловые точки, осуществляющие единственную связь между двумя или несколькими группами ветвей (например, узловая точка В на рис. 1-11).
Точки, образующие узел, в котором сходятся две ветви, называются устранимыми.
Схема, в которой ветви друг с другом не пересекаются, называется плоской, или планарной.
В отношении узлов может быть определена операция сложения или простейшего эквивалентирования, под которой понимается сложение ветвей, сходящихся в узлах. При этом ветвям, направленным к узлу, приписывается знак «+», а ветвям, направленным от узла, - знак «-».
Непрерывный путь, образованный совокупностью ветвей и узловых точек и характерный тем, что при обходе по нему каждая ветвь и каждая узловая точка встречаются только один раз, называется контуром. Если обход контура завершается исходной точкой, то контур называется замкнутым. Так, например, ветви АВ, ВС, СF, FD и DА на рис. 1-11 образуют замкнутый контур АВСFDА, который можно коротко обозначить как С_а, где а — номер контура. Каждому контуру можно приписывать определенные направления. Пусть, например, при выбранном положительном направлении контур АDFСВА будет обозначен через с_i. Соответственно будут обозначены и другие контуры, над которыми будут производиться операции сложения контуров. Под этими операциями понимаются преобразования ветвей, приводящие к новым совокупностям ветвей и новым контурам. Каждый контур в результате операции сложения заменяется суммой входящих в него ветвей с учетом указанного выше правила направлений (знаков) для ветвей.
Несколько контуров после сложения переходят в какой-либо другой контур или несколько других контуров. Так, например, для схемы, представленной на рис. 1-11,

Где



Линейно зависимыми называются контуры, если может существовать соотношение

Причем коэффициенты а₁, а₂, ..., а_n не равны или не все равны нулю.
Контуры линейно независимы в случаях, когда схема имеет М ветвей, а N узлов разбивается на 5 подсхем. При этом наибольшее число независимых контуров

Число к называют связностью схемы (цикломатическим числом), а число k = N — S — рангом схемы.
Независимых контуров для схемы, приведенной на рис. 1-11, может быть не больше четырех. При этом можно видеть, что если взять большее число контуров, то они уже будут линейно зависимы. Если для примера рассмотреть контуры


то их сумма будет равна нулю:

Проводя линейные преобразования, можно перейти от одной системы линейно-независимых контуров к другой. Так, для схемы, имеющей замкнутые контуры, всегда можно выбрать такое количество ветвей, что после их удаления не останется замкнутых контуров. Связанная схема, которая не имеет ни одного замкнутого контура и остается после удаления ветвей, называется деревом схемы. После того как из схемы будут удалены все замкнутые контуры, оставшиеся ветви образуют систему главных ветвей. Каждой из главных ветвей соответствует контур, который она замыкает. Совокупность контуров, соответствующих главным ветвям, называется системой главных контуров. Так, например, удаляя ветви АВ, ВС, FD и АС из схемы, приведенной на рис. 1-11, последовательно размыкаем контуры АВЕDА, СFЕВС, DЕFD и АDЕFСА. В результате получаем схему, показанную на рис. 1-12.

Таким образом, всякая система главных контуров является линейно независимой. Однако не всякая система линейно независимых контуров является системой главных контуров. Сочетание, например, контуров АВЕDА, ЕВСFE, FСАDF и DЕFD представляет собой совокупность линейно независимых контуров, однако они не являются системой главных контуров, так как в контуре ВЕВЕ нет ни одной ветви, которая не относилась бы также к другому контуру той же совокупности. Совокупность независимых контуров может быть получена как линейная комбинация системы главных контуров.
Между узлами и ветвями заданной схемы существует геометрическая связь. Эта связь может быть представлена алгебраически при помощи коэффициентов совпадения тгь, которые указывают, граничит или нет k-я ветвь с k-м узлом. Если при движении вдоль i-й ветви в положительном направлении мы подходим к k-му узлу, то в противном случае (отрицательном направлении) . Если i-я ветвь не граничит с k-m узлом, то .
Если расположить числа в виде прямоугольной таблицы так, чтобы ее столбцы соответствовали ветвям, а строки - узлам, то можно получить первую матрицу совпадения*, обозначенную через П. Эта матрица является алгебраическим выражением взаимной связи всех узлов со всеми ветвями схемы и однозначно определяет ее конфигурацию. Наоборот, по заданной матрице П может быть однозначно построена соответствующая геометрическая схема.
Например, для схемы, приведенной на рис. 1-13, матричная таблица имеет вид

	1	1	-1
		-1		1	1
				-1		-1	1
					-1		-1	1
	-1					1			1
			1					-1	-1

Геометрическая схема может быть охарактеризована не только коэффициентами совпадения , но и коэффициентами совпадения , которые указывают, входит или нет i-я ветвь в k-й контур. Если i-я ветвь входит в k-й контур, тo в противном случае . Если i-я ветвь не входит в k-й контур, . Если разместить числа в прямоугольной таблице так, чтобы строки соответствовали ветвям, а столбцы — контурам схемы, то получится вторая матрица совпадения Г, являющаяся алгебраическим выражением взаимной связи между ветвями и контурами схемы. Для заданной схемы всегда может быть однозначно составлена ее матрица совпадений Г.
В частности, для схемы, приведенной на рис. 1-12, матрица совпадений Г имеет вид

			1					-1	1
	1		-1					-1		1
	1						-1	1
			-1	1				1
	1			-1

Матрицей совпадений П может быть не любая произвольно составленная матрица, а только матрица, в каждом столбце которой содержится не больше двух элементов, не равных нулю, причем эти элементы должны быть соответственно равны +1 и -1.
Матрицей совпадений Г планарной схемы может быть матрица, в каждой строке которой имеется не более двух элементов, равных +1 и -1; остальные элементы ее должны быть равны нулю.
Матрица Г может быть составлена для произвольной системы контуров. Переход от одной системы контуров к другой осуществляется линейной комбинацией столбцов и строк матрицы. Отметим (не касаясь деталей, поскольку здесь рассматриваются установившиеся режимы), что аппарат матриц может быть применен и при анализе переходных процессов.
Так, электромагнитные процессы, происходящие в электрической цепи произвольной конфигурации с элементами R, L и С, могут быть охарактеризованы токами, протекающими в цепи, и приложенными к ней напряжениями. Отвлекаясь от геометрической конфигурации цепи, можно в каждой схеме выделить некую идеализированную элементарную схему, определяющую физические свойства цепи независимо от ее геометрических свойств и представляющую собой совокупность ветвей данной схемы, взятых изолированно, причем так, чтобы в каждой ветви были приложены действующие в ней э.д.с. и соответственно были учтены взаимные индуктивности между ветвями.
Условное изображение элементарной схемы электрической цепи (рис. 1-14, а) показано для случая отсутствия взаимоиндукции между ветвями (рис. 1-14, б) и для случая наличия взаимоиндукции между ветвями 1, 2, 3 (рис. 1-14, в). Закон Ома для каждой ветви элементарной схемы записывается в виде

Здесь э. д. с. источника, включенного в m-ю ветвь; напряжение между ее узлами; ток в m-й ветви; ток в n-й ветви; при этом принимаются обозначения:



Ветви схемы можно представить как некие координатные оси воображаемого векторного пространства. Тогда величины , , будут являться проекциями обобщенных векторов Е, V, I на соответствующие оси. Их можно также рассматривать как координаты соответствующих точек в т-мерном пространстве.

Для всех ф ветвей элементарной схемы можно записать одно векторное уравнение , где Z- матрица полного сопротивления. Это уравнение, определяющееся топологией схемы, будет содержать т линейно независимых уравнений.
Матрица полного сопротивления* схемы, показанной на рис. 1-14, при наличии взаимоиндукции между ветвями АВ, АD и между ветвями АD, DС

При отсутствии взаимоиндукции

На основе таких же соображений может быть составлена элементарная матрица полной проводимости. Таким образом, появляется некоторая аналогия в исследовании установившихся режимов и переходных процессов; эта общность является дополнительным преимуществом матричных методов.
В качестве особого графа можно рассматривать эквивалентную схему замещения цепи, составленную из идеальных двухполюсных элементов с параметрами R, L, С. Характер соединения ветвей этого графа можно отразить специальными символами. При этом эквивалентную схему замещения цепи, так же как и ее граф, можно считать математической моделью линейной цепи.

* Иногда называют матрицей инциденций (см.: Электрические системы, т. I. Под ред. В.А. Веников