Характеристики

B_xy (t₁ , t₂ ) 
_{ } x(t₁ ) 

y(t₂ ) W (x,
y;t₁, t₂ )dxdy

II. Числовые характеристики определенные
усреднением по времени одной достаточно длинной реализации

1. 
   Математическое ожидание (Среднее значение
   

реализации случайного процесса)

x(t)
 lim ¹
T  _T
T

2
_ x(t)dx

_T
2

Физический смысл среднего значения, полученного усреднением по времени одной реализации случайного процесса - это постоянная часть тока или напряжения.

2. 
   Дисперсия
   

T
₁ 2 2

D[x(t)]
 lim
T  _T
[x(t) 
_T
2
x(t)] dt

Физический смысл дисперсии случайного процесса это переменная часть мощности тока.

3. 
   Автокорреляционная функция.
   

  t₂  t₁
t

B_x ( ) 
lim ¹
T  _T
T

2
_ x(t)x(t  )dt

_T
2


B_x ( ) 
lim ¹
T  _T


T

2
_ x(t)x(t  )dt

_T
2

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке и анализе сигналов.

4. 
   Взаимокорреляционная функция.
   

B_xy ( )
t
t₁
 lim ¹
T  _T
T

2
_ x(t) y(t

_T
2


 )dt

B_xy ( )

t
t₂

 lim ¹
T  _T
T

2
_ x(t) y(t

_T
2


 )dt

Свойства АКФ

1. 
   При т =о автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:
   

2. 
   АКФ - функция чётная
   

3. 
   Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:
   

4. 
   Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер
   

Степень коррелированности случайного процесса можно охарактеризовать интервалом корреляции:

 _к 


1

0
B_x (0) ^
B_x ( ) d

   _K
   _K


- в этом случае значения случайного процесса
коррелированы
- в этом случае значения случайного процесса
некоррелированы

Графическое определение интервала корреляции

Нестационарные случайные процессы - это случайные процессы с
разными статистическими характеристиками на всех его сечениях..
Определение: Если математическое ожидание и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, такой случайный процесс называется стационарным случайным процессом в самом широком смысле.

x(t)
 const
DX (t) const

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса в широком смысле зависит только от расстояния между двумя сечениями случайного процесса и не зависит от того, где эти сечения расположены на оси времени:
B_x(t₁,t₂)= B_x() = t₁-t₂

Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек t₁, t₂….. t_n на величину τ, т.е.:

W_n (x₁, x₂ ,...x_n ,t₁,t₂ ...t_n )
 W_n (x₁, x₂ ,...x_n ,t₁
 ,t₂
 ,...t_n
 )

Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.

t₁ t₂ …… t_n t₁+ t₂+ …… t_n+ _t

Стационарный случайный процесс в узком смысле, конечно, стационарен в

широком смысле. Но не всегда бывает наоборот.

а) Стационарный


x(t)  const

D(x(t)  const

б) Нестационарный
x(t) 
const





D(x(t)  const

в) Нестационарный


x(t)  const

D(x(t))  const

Пример
Задан гармонический процесс со случайной начальной фазой:
X(t) = A

W( ) =

=

( , )=
=
D[X(t)]= (t ,t)=

Таким образом гармонический процесс со случайной начальной

фазой является стационарным процессом.
В некоторых случаях стационарные случайные процессы обладают эргодическим свойством, т. е. в этом случае численные характеристики стационарных случайных процессов, определенные по ансамблю, равны числовым характеристикам, определяемым усреднением по времени для одной реализации.

x_А (t) 


x_Р (t)


B_x (t₁,t₂ ) 
D_А[x(t)] 


B_x ( )


D_Р [x(t)]

Чтобы стационарные случайные процессы были эргодичными, они должны быть стационарными в широком смысле и должны подчиняться следующему условию:

lim ¹
  _T

_ B_x ( )d  0


Неэргодический стационарный случайный процесс
Эргодический стационарный
случайный процесс

Примеры корреляционных функций эргодических случайных
процессов

Реальные сообщения, сигналы и помехи - это нестационарные случайные процессы. Однако, когда они рассматриваются в течение ограниченного периода времени, их можно рассматривать как стационарный случайный процесс с очень большим приближением. Поэтому стационарные случайные процессы широко используются в качестве математических моделей сообщений, сигналов и помех.

1

Известно, что спектральная плотность конкретных сигналов определяется
преобразованием Фуре:


S ( j)  _



₁ 
S (t)  e^{ j t} dt