Himoyaga ruxsat etildi” Magistratura bo’limi boshlig’i “ ” 2023-yil

Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi.
Xususiy hоsilаli differensiаl tenglаmаning аsоsiy yo‘nаlishlаridаn biri sоhаning chegаrаsidа yoki ichidа buzilishgа egа bo‘lgаn yuklangan аrаlаsh tipdаgi tenglаmаlаr uchun turli xil chegаrаviy mаsаlаlаr nаzаriyasini rivоjlаntirish hаm аmаliy jihаtdаn, hаm nаzаriy jihаtdаn qiziqаrlidir.
1894 yildan boshlab G.Darbu [8] tomonidan buziladigan giperbolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar yechish rivojlantirildi. Bu ishdan keyin Ye.Xolmgren [9] tomonidan buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan giperbolik va elliptik tipga tegishli bo‘lgan tenglamalar uchun mos ravishda Darbu va Xolmgren masalalari o‘rganildi. Bu esa buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishga asos bo‘ldi. Bunga F.G.Trikomi [6], S.Gellerstedt [10] ishlarini misol qilib aytish mumkin.
So‘nggi yillarda optimal boshqaruv, tuproq namligi va namlik darajasini boshqarish va uzoq muddatli baholashni prognoz qilish kabi masalalarning jadal tadqiqotlari natijasida yuklangan tenglamalarga bo‘lgan qiziqish yanada ortdi.
Yuklangan tenglamalarning batafsil klassifikasiyalari va umumiy ta’riflari ilk bora A.M.Naxushevning [11] ishida keltirilgan.
Ta‘rif. n o‘lchovli Yevklid fazosida olingan yopiq sohaga tegishli, o‘lchami n dan kichik bo‘lgan ko‘pxilliklarda izlanayotgan ω=ω(z) yechimning izi bilan bog‘liq amallarni o‘z ichiga olgan Lω=f(z) tenglamaga yuklangan tenglama deyiladi.
Bu yo‘nalish 1977-yildan boshlab, buzilish chizig‘iga ega bo‘lmagan yuklangan ikkinchi tartibli elliptik-parabolik va parabolik-giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Trikomi va Gellerstedt masalalari A.M.Naxushev [11] va V.M.Kaziyev [18] tomonidan o‘rganilgan.
Yuklangan qismda izlanayotgan funksiyaning izi yoki hosilasi mavjud bo‘lgan ikkinchi va uchinchi tartibli aralash turdagi buzilishga ega bo‘lmagan yuklangan tenglamalar uchun chegaraviy masalalar N.N.Lanin [12], V.A.Eleev [13], B.Islomov va D.M.Kuryazov [14, 15], B.Islomov va U.I.Boltaeva [16] lar ishlarida o‘rganilgan. Yuklangan parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun Trikomi masalasining uch o‘lchamli analogi B.Islomov va E.Aliqulov [17] ishlarida o‘rganilgan.
Bizga ma‘lumki, buzilishga ega yuklangan ikkinchi tartibli aralash tipdagi tenglama uchun Trikomi va Gellerstedt masalalari tipidagi chegaraviy masalalar nisbatan kam o‘rganilgan. V.M.Kaziyev [18], B.Islomov va F.Jurayev [19] ishlarini qayd etamiz.
Shuni ta‘kidlash lozimki, sohaning chegarasi va ichida buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan yuklangan parabolik-giperbolik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar kam o‘rganilmagan.
Bu esa bizning tadqiqot ishimizning dolzarbligini belgilaydi.
Tadqiqotning ob‘ekti. Ushbu magistrlik dissertatsiyasida buzilish chizig‘iga ega bo‘lgan yuklangan parabolik-giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Trikomi va Gellerstedt masalalariga o‘xshash masalalarga oid yangi natijalar olinishi ko‘zda tutilgan.