Homework 4 due on 2020/10/22

Homework 4 due on 2020/10/22 

 

1.  A particle of mass m and fixed energy E is confined to a two-dimensional box. The x and y side 

lengths of the box are a and b, respectively. Also potential U(x, y) = constant everywhere inside 

the box. Assuming the side-lengths of the box are much larger than atomic dimensions, derive 

an expression for the density of states (g

2D

) for the given particle in a two-dimensional box. 

Record all step in obtaining your answer. (10pts) 

 

2.  The E-k relationship characterizing an electron confined to a 2-dimensional surface layer is of 

the form 

 

 

 

 

 

 

E − 𝐸

!

=

ℏ

"

𝑘

#

"

2𝑚

$

∗

+

ℏ

"

𝑘

&

"

2𝑚

"

∗

 

where  𝑚

$

∗

≠ 𝑚

"

∗

. 

Assuming  the  side-lengths  of  the  box  are  much  larger  than  atomic  dimensions,  derive  an 

expression  for  the  density  of  states  (g

2D

)  for  the  given  particle  in  a  two-dimensional  box. 

Record all step in obtaining your answer. (10pts) 

 

3.  Like GaAs, GaP crystallizes in the zincblende lattice and the valence band maxima occur at the 

Γ

point in the first Brillouin zone. Unlike GaAs, the conduction band minima in GaP occur at 

the X-points in the Brillouin zone. (20pts) 

a)  Where are the X-points located in the k-space? 

b)  In GaP a direct or indirect material? Explain 

c)  Given that the constant energy surfaces at the X-points are ellipsoidal with 

'

!

∗

'

#

= 1.12

 

and 

'

$

∗

'

#

= 0.22

, what is the ratio of the longitudinal length to the maximum transverse 

width of the surfaces? 

d)  Determine the density of states effective mass for electrons in GaP. 

4.  The valence band of InSb is a bit unusual in that the heavy-hole sub-band exhibits maxima 

along <111> directions at a k-value slightly removed from k=0. If the heavy-hole maxima are 

described  by  parabolic  energy  surfaces  where  𝑚

(

∗

  and  𝑚

)

∗

  are  the  longitudinal  and 

transverse effective masses, respectively, and if  𝑚

(*

∗

  is the effective mass for the light holes 

in  a  spherical  sub-band  centered  at  k  =  0,  obtain  an  expression  for  the  density  of  states 

effective mass characterizing the holes in InSb. You answer should be expressed in term of 

𝑚

(

∗

,  𝑚

)

∗

  and  𝑚

(*

∗

. (10pts) 

5.  The carrier distributions or number of carriers as a function of energy in the conduction and 

valence bands were noted to peak at an energy very close to the band edges. Taking the 

semiconductor to be nondegenerate, determine the precise energy relative to the band edges 

at which the carrier distributions peak. (10pts) 

6.  In  InSb  at  300K,  bandgap  E

g

=0.18eV  (the  smallest  band  gap  of  all  binary  semiconductor 

compounds), 

'

%

∗

'

#

= 0.0116

, 

'

&

∗

'

#

= 0.4

, and  𝑛

+

= 1.6 × 10

$,

𝑐𝑚

-.

. (40pts) 

a)  Would you expect the intrinsic Fermi energy (E

i

) in InSb to lie closer to Ec or Ev? Present 

a qualitative argument that supports your answer, the text relationship for E

i

 should not 

be used.   

b)  Assuming nondegenerate statistics, determine the position of E

i

 in the InSb bandgap in 

300K 

c)  Draw a dimensioned energy band diagram showing the position of E

i

 determined in part 

(b).  (Numerical  values  for  values  for  relevant  energy  differences  are  note  on  a 

dimensioned diagram.) Do you see anything wrong with the part (b) results? Explain 

d)  Given an InSb sample doped with 10

14

/cm

3

 donor, what is the approximate positioning 

of E

F

 in sample at 300K? please note how you deduced your answer.