I-bob. Birinchi tartibli differensial tenglamalar


Download 0.61 Mb.
Pdf ko'rish
bet15/15
Sana01.05.2020
Hajmi0.61 Mb.
#102706
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Bog'liq
2 5411289782254830393


=

  yechimlarni  olamiz,  bundan 

1

2

3



( )

3

2



p

u p


p

p C


′ =

=



+

,  ya’ni 

1

2

3



3

2

dp



dt

p

p C



=

+



.  Oxirgi  tenglikni  integrallab, 

1

2



( )

( ,


,

)

p t



t C C

= Φ


  ni 

topamiz,  bu  yerda  Φ -ma’lum  funksiya.  Toplilgan 

( )

p t


  funksiyani 

( )


t

z

e



p t

=



  ga  qo’yib,  bu  ni  esa   

( )


y

z x


′ =

  almashtirishga  qo’yamiz  va 

uni bir marta integrallab berigan tenglama yechimini  

3

1



2

3

( )



( ,

,

)



t

t

y



e

p t dt C


e

t C C dt C

t

x

e



=



+

=

Φ



+

=

 



ko’rinishda topamiz. 

5-

Masala. 



2

2

2



6

3

4



y

x y


xy

y

x



′′



=

 



tenglamaning 

(1) 1,


(1)

4

y



y′

=

=



 

shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping. 

Yechish.  Berilgan  tenglamada   

1

2



,

,

,



m

m

m



x

tx z


t z

z

t



z

z

t



z



′′



′′

=

=



=

=

  



almashtirishlarni  bajarib,  umunlashgan  bir  jinsli  tenglama  bo’lishini 

abiqlaymiz  va 

2

m

=



  da  ya’ni, 

2

,



( )

t

t



x

e

y



e z t

=

=



  almashtirishlarda 

berilgan  tenglama   

2

6

0



z

z

′′ −



=

  tenglamaga  keladi.  Oxirgi  tenglamani 

ikkala  tomonini 

2z′


  ko’paytirib, 

2

2



12

0

z z



z z

′ ′′


=



  ya’ni 

( ) ( )


2

3

4



0

z

z





=

 



ni  hosil  qilamiz  endi  esa  bu  tenglikni  integrallab,   

2

3



4

1

z



z

C

′ =



+

  

topamiz.    



Masala  qo’yilishidagi     

(1) 1,


(1)

4

y



y′

=

=



  sartlardan,    hamda 

,

t



x

e

=



 

2

)



(

t

y



e z t

=

 va 



(

2 )


t

y

e z



z



=

+

  almashtirishlarga asosan 



(0) 1

z

=



 va 

(0) 2 (0)

4

z

z



+

=



  ya’ni 

(0)


2

z′

=



    shartlarga  ega  bo’lamiz.  Demak 

 

78 


1

2

3



(0)

4

(0)



z

z

C



=

+



, ya’ni 

1

0



C

=

. Shunday qilib,  



2

3

4



z

z

′ =



 yoki 

3

2



2

z

z



′ = ±

 

tenglamani  integrallash  orqali  quyidagini  topamiz     



2

1

t C



z

±

= +



bundan  esa 

(0) 1

z

=



  shartga  asosan 

2

1



C

= ±


,  ya’ni 

2

1



(

1)

z



t

=

±



.    Bu 

yechimlardan   

(0)

2

z′



=

  shartni  qanoatlantiruvchi   

2

1

(



1)

z

t



=

  yechimni 



topamiz. 

Shunday 


qilib, 

berilgan 

tenglama 

yechimi  

2

2

2



2

2

( )



(

1)

(ln



1)

t

e



x

t

y



e z t

t

x



=

=

=



 bo’ladi. 



 

Mustaqil yechish uchun mashqlar: 

I. Quyidagi differensial tenglamalarni integrallang (288-307): 

 

288. 



ln

y

xy



y

x



′′

=



 

 



 289. 

2

2



1

xy y


y

′ ′′


=

+



 

290.



2

(

)



x a y

xy

y



′′



+

+

=



.            

 291. 


4

3

2



1

x y


x y

′′′


′′

+

=



 

292. 



2

4

4



y

y

xy



′′

′′



+

=

 



          

  293. 


2(

1)

y



y

ctgx


′′′

′′

=



 



294. 

2

2



y

y

y y



x

′′



′ ′′′

=



.  

 

 295. 



3

0

y



xy

y

′′



′′′

′′′


+

=



 

296. 



2

1

(



1)

2

2



x

x

y



y

x

+



′′′

′′



+

=

.       



 297. 

3

1



y y

′′

=



 

298. 



2

2

1



y y

′′

=



.   

 

  



  299. 

2

2



yy

y

y y



′′



=



 

300. 


3

1

IV



y

y y′′


=

.           



 

  301. 


2

2

1 0



y

y y


′′

′ ′′′


+ =


 

302. 



sin

y

xy



y

x

x



′′



=

+

.   



 

 303. 


2

2

ln



yy

yy

y



y

′′



=



 

 

304. 



2

,

(2)



0,

(2)


4

y

x



y

y

y



x

y



′′

=



+

=

=



. 305. 


2

,

(0)



0,

(0) 1


y

y

e



y

y

′′



=

=



=

 



306. 

2

2



3

0;

(0)



3,

(0) 1,


(0)

1

y



y

y

y



y

′′′


′′



=

= −



=

= −


 

307. 



2

cos


sin

;

( 1)



,

( 1)


2

6

y



y

y

y



y

y

y



π

′′



+



=

− =


− =



 

79 


II.  Quyidagi  differensial  tenglamalarni  (bir  jinsli  ekanligidan 

foydalanib) integrallang (308-324): 

308. 

2

0



xyy

xy

yy



′′



=



 

 



309. 

2

2



(

)

x yy



y

xy

′′



=



310. 


2

2

2



2

2

(



)

x

yy



y

xyy


y x y

y

′′





+

=



.  311. 


2

2

xyy



xy

yy

′′



+



=

312. 



2

2

1



yy

yy

y



x

′′



=



+

 



 

313. 


2

2

y



y

y

y



x

y

x



′′ +



+

=



314. 

2

2



2

(

2



)

x

y



yy

y



′′

=



 

 



315. 

2

(



)

(1

)



y xy

y

xy



x

′′



+

=



 

316. 



2

2

2



2

0

bxy



xyy

xy

yy



a

x



′′





=

          317. 



2 3

2

4



4x y y

x

y



′′ =



318. 

2

3



0

xyy


yy

x y


′′



+

=



 

         319. 



2

2

3



4

0

x y



xy

y

x



′′



+

+

=



 

320. 


2

2

3



(

)

(2



3 )

x

yy



y

xyy


xy

y

x





+



=

.  321. 



4

3

(



)

0

x y



xy

y

′′



+



=

322. 



4

2

3



(

2

)



4

1

x



y

yy

x yy



′′



=

+



 

 323. 



2

3

yy



xyy

xy

x



′′



+

=



324. 


4

3 3


2

2

2



3

2

3



2

(3

2



)

2

0



x y

x y


x yy

xy

x



y

x y


y

′′





+

+



+

+

=





Download 0.61 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling