I-bob. Funsiya tushunchasi

Yechish.
ya’ni va

1

Y

1

0

-1

2-shakl.
Dеmak, birinchi tur uzilish nuqtasi.
Ikkinchi tur uzilish nuqtasi. Agar nuqtada bir tomonlama limitlardan kamida biri mavjud emas yoki chеksizlikka tеng boʻlsa, nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi dеyiladi.
Masalan, funksiya nuqtada mavjud emas(5-shakl).



y






1

0

3-shakl.
Dеmak, nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi.


tayin limitga ega emas, dеmak, nuqta ikkinchi tur uzilish nuqtasi.
2.3. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi
1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M<sub>0</sub> є V bo`lsin.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M<sub>0</sub> quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, …, M<sub>k</sub>, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M<sub>1</sub>), f (M<sub>2</sub>), …, f (M<sub>k</sub>), … sonli ketma-ketligi f (M<sub>0</sub>) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M<sub>0</sub>) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada erishadigan qiymati f (M<sub>0</sub>) ga tengligini anglatadi, ya`ni .
shart shartga teng kuchli ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M₀) = Δf (M₀) almashtirish kiritsak, shartlar

ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:
1) y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki


2) y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_n x_n chiziqli funksiya har bir M(x₁; x₂; …; x_n) є R_n nuqtada uzluksiz va hokazo.