I. Imomov, E. Nizomxonov Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika
Empirik taqsimot funksiyasining xossalari
Download 1.47 Mb. Pdf ko'rish
|
ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika
- Bu sahifa navigatsiya:
- Nisbiy chastotalar poligoni
- Chastotalar (nisbiy chastotalar) gistogrammasi
- Namunaviy masalalar yechish Masala
- Taqsimot noma’lum parametrlarining statistik baholari
- “Tuzatilgan” dispersiyasi
- Tanlanma o’rta qiymatining tanlanmaviy taqsimoti
- Normal taqsimot dispersiyasi noma’lum bo’lgan holda uning matemftik kutilmasi uchun interval baho
Empirik taqsimot funksiyasining xossalari: 1.
Empirik taqsimot funksiyasining qiymatlari
1 ; 0 kesmada yotadi. 2. x F - kamaymaydigan funksiya. 3. Agar
1 x - eng kichik varianta bo’lsa, u holda 1
x lar uchun 0 x F va
2 x eng katta varianta bo’lsa, u holda 2
lar uchun 1 x F .
k k n x n x n x , , , ; , ; 2 2 1 1 nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Nisbiy chastotalar poligoni deb
k k x x x , , , ; , ; 2 2 1 1
nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi.
Tanlanmani grafik usulda tasvirlashda tanlanmaning hajmi kam bo’lganda poligondan, agar hajmi katta bo’lsa yoki kuzatilayotgan kattalik uzliksiz xarakterga ega bo’lsa, gistogrammadan foydalaniladi.
uzunlikdagi
i x x , 1 qism intervaldan iborat bo’lib, balandligi esa h n i / ( h i / ) nisbatga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklardan iborat zinapoyasimon figuraga aytiladi. Gistogramma qurish uchun tanlanmaning barcha variantalari yotgan interval h qadam bilan
i x x , 1 qism intervallarga bo’linadi va har bir interval uchun unga tushgan variantalar chastotalarining yig’indisi i n topiladi. So’ng qism intervallarni asos qilib h n i / (nisbiy chastotalar gistogrammasi uchun
h n h n i / / 1 ) balandlikdagi to’g’ri to’rtburchaklar quriladi.
ga (nisbiy chastotalar gistogrammasi uchun n n h h i i i / / ) teng. Demak, chastotalar gistogrammasining yuzasi barcha chastotalar yig’indisiga teng. Nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzasi barcha nisbiy chastotalar yig’indisiga teng, ya’ni 1 ga teng. Namunaviy masalalar yechish Masala: Hajmi n=20 ga teng bo’lgan tanlanma chastotalar taqsimoti 3 6 7 4 : 8 7 5 1 :
i n x
ko’rinishda. Nisbiy chastotalar taqsimotini toping. Yechish: Nisbiy chastotalarni topish uchun chastotalarni tanlanma hajmiga bo’lamiz: 15 , 0 20 / 3 ; 3 , 0 20 / 6 ; 35 , 0 20 / 7 ; 2 , 0 20 / 4 / 1 1 2 1 1
n
Tanlanmaning nisbiy chastotalar taqsimoti: 15 , 0 3 , 0 35 , 0 2 , 0 : 8 7 5 1 : i i x . Taqsimot noma’lum parametrlarining statistik baholari Aytaylik bosh to’plamning biror miqdoriy ko’rsatkichini baholash talab qilinsin. Nazariy mulohazalardan ana shu ko’rsatkichning taqsimotiga ega ekanligi ma’lum bo’lsin. Tabiiy ravishda bu taqsimotni aniqlaydigan parametrlarni baholash masalasi kelib chiqadi. Odatda kuzatish natijalari, ya’ni tanlanma qiymatlaridan boshqa ma’lumot bo’lmaydi. Noma’lum parametrning statistik yoki empirik bahosi deb tasodifiy miqdorning kuzatilgan qiymatlari funksiyasiga aytiladi.
Ixtiyoriy hajmdagi tanlanma uchun matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo’lgan statistik baho siljimagan baho deyiladi. Matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo’lmagan statistik baho siljigan
Eng kichik dispersiyaga ega bo’lgan statistik baho effektiv baho deyiladi. Katta hajmdagi tanlanmalar bilan ish ko’rilganda bahoga asoslilik talabi qo’yiladi. n
da baholanayotgan parametrga ehtimollik bo’yicha yaqinlashuvchi statistik baho asosli baho deyiladi. Bitta kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho nuqtaviy baho deyiladi Baholanayotgan parametrni qoplaydigan intervalning chegaralarini bildiruvchi ikki miqdoriy kattalik bilan aniqlanadigan statistik baho interval baho deyiladi. Nuqtaviy baholar. X tasodifiy miqdorning kuzatilgan qiymatlari quyidagi statistik taqsimotga ega:
k k n n n n x x x x 3 2 1 3 2 1 , bu yerda i i x n
i , 1 variantaning chastotasi va
k i i n n 1 - tanlanma hajmi. Tanlamaning o’rta qiymati bosh to’plamning siljimagan bahosi bo’lib xizmat qiladi. Haqiqatan ham
n i n i i i i i MX x n n x n n X 1 1 1
Tanlamaning dispersiyasi bosh to’plamning dispersiyasi uchun siljigan baho bo’lib xizmat qiladi:
k i i i n i i T n X x n i X X n D 1 2 1 2 ) ( ) ( 1
BT T D n n D M 1 - bo’lgani uchun bu baho siljigandir. BT D - bosh to’plamning dispersiyasi.
qiladi:
i n i i n i i T n X x n n X X n n D n n S 2 1 2 1 2 1 1 1
BT D S M 2 bo’lgani uchun bu siljimagan bahodir. Tanlama dispersiyani hisoblaganda quyidagi foydalanish qulay:
n i i i n i i T X n x n X X n D 1 2 2 1 2 2 1 1 T T D - tanlanmaning o’rtacha kvadratik chetlashishi deyiladi. “Tuzatilgan” o’rtacha kvadratik chetlashish tanlama “tuzatilgan” dispersiyasidan olingan kvadrat ildizi bilan aniqlanadi:
1 . Bosh to’plam modasining bahosi sifatida tanlanma eng ko’p uchraydigan varianta bilan aniqlanuvchi tanlanmaviy moda ishlatiladi, ya’ni:
. max : mod 0 0
i i i T n n x Bosh to’plam medianasining bahosi sifatida n x x x 2 1 variatsion qatorining o’rtasi to’g’ri keladigan varianta yoki variantalar bilan aniqlanuvchi tanlanmaviy mediana ishlatiladi:
. ' , , ' , 2 1 1 2 / 1 2 / 2 / lsa bo toq п агар x lsa bo juft п агар x x med n n n T
Eng katta va eng kichik variantalar orasidagi farq min max
x x R tanlanmaning kengligi deyiladi. M - bosh to’plamdagi bizni qiziqtirgan xossaga ega bo’lgan elementlar sonining N - bosh
to’plam elementlarining umumiy soniga nisbati bosh ulush deyiladi: N M p . Bosh ulushning nuqtaviy bahosi sifatida tanlanmaviy ulush, ya’ni tanlanmadagi bizni qiziqtirgan xossaga ega bo’lgan elementlar soni m ning tanlanma elementlarining umumiy soni n ga
xizmat qiladi. Tanlanma o’rta qiymatining tanlanmaviy taqsimoti: katta sonlar qonuni va markaziy limit teoremasidan agar bosh to’plam normal taqsimot qonuniga bo’ysunsa, u holda tanlanma o’rta qiymat
ham normal taqsimot qonuniga bo’ysunshi kelib chiqadi. Tanlanma hajmi yetarlicha katta bo’lganida qanday taqsimot qonuniga ega bo’lishidan qat’iy nazar o’rta qiymat
baribir normal taqsimot qonuniga bo’ysunar ekan. Shunday qilib, agar bosh to’plam a matematik kutilma va
2 dispersiyaga ega bo’lsa, u holda tanlanma o’rta qiymati n a N X 2 ; bo’lar ekan. Demak,
/ /
a Ф n a Ф X P
n Ф a X P / 2 . Taqsimot noma’lum parametrlarining interval baholari Yuqorida ko’rib chiqilgan baholarning hammasi nuqtaviy baholar edi. Kichik hajmdagi tanlanmalarda nuqtaviy baholar baholanayotgan parametrdan sezilarli farq qilishi mumkin. Shu sababli tanlanma hajmi kichik bo’lganida bahoning aniqligi va ishonchliligini yaxshiroq ta’minlaydigan interval baholardan foydalanish o’rinlidir. Interval baholar intervalning chegaralarini bildiruvchi ikkita miqdor bilan aniqlanadi. Tanlanma bo’yicha topilgan statistik kattalik noma’lum parametrning bahosi bo’lsin. Albatta, ayirma qanchalik kichkina bo’lsa, statistik baho parametrni shuncha aniq baholaydi. Shunday qilib, shartni qanoatlantiruvchi >0 son baho aniqligining ko’rsatkichidir. statistik bahoning ishonchligi deb tengsizlikning bajarilish ehtimoli ga
aytiladi, ya’ni P P . Odatda bahoning ishonchligi oldindan beriladi va sifatida birga yaqin qiymatlar olinadi, masalan, 0,95; 0,99; 0,999. Noma’lum parametrni berilgan ishonchlilik bilan qoplaydigan ; interval ishonch intervali deyiladi.
interval baho X - a va 2 parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor, ya’ni 2 , a N
bo’lib, a noma’lum va 2
a parametrni ishonchlilik bilan qoplaydigan ishonch oralig’ini topamiz. Tanlanmaning qiymatlari n X X X , , , 2 1 -
2 ,
N parametrli normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning kuzatish natijalaridan iborat. Ma’lumki, n X X n X 1 1 tanlanmaning o’rta qiymati
a X M ; n X parametrli normal taqsimotga ega.
a X P munosabat o’rinli bo’lishini talab qilamiz va bizga ma’lum bo’lgan
n Ф a X P 2 t Ф a X P 2 , n t
formuladan foydalanamiz. Oxirgi tenglikdan: n t . Demak,
2 . Tenglikning chap tomon berilgan va u ga teng. U holda
t Ф n t X a n t X P 2 , ya’ni ishochlilik bilan
t X n t X ; ishonch oralig’i a noma’lum parametrni qoplaydi, deb ta’kidlash mumkin. Izoh: Yuroridagi munosabatdagi t kattalikni
2 t tenglikdan ilovadagi Laplas integral fuksiyasi qiymatlari keltirilgan 4-jadvaldan topiladi. Bahoning aniqligi
ga teng bo’ladi.
uchun interval baho a X va 2 parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor, ya’ni 2 ,
N
bo’lib, parametrlar a va larning qiymati noma’lum bo’lsin. Noma’ lum a parametrli
ishochlilik bilan qoplaydigan ishoch oraligini topamiz . Tanlanmaning qiymatilari (variantalari) bo’yicha erkinlik darajasi 1
n h bo’lgan Styudent taqsnimotli T tasodifiy miqdorni aniqlaymiz:
/ 2 Bu yerda X - tanlanma o’rta qiymat, s –“tuzatilgan” o’rtacha kvadiratik chetlashish, n- tanlanma hajmi bilan aniqlanadi va , a noma’lum parametrlarga bo’gliq emas.
funksiyasi – t bo’yicha juft fuksiyasi bo’lgani uchun
dt t n S t n s a X P t T P t , 2 / 0
yoki n s t X a n s t X P
Shunday qilib, n s t X n s t X ; ishonch oralig’i a noma’lum parametrni
Download 1.47 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling