I. To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak

R e j a:

I.To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi

2.Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak

3.Ikki to’g’ri chiziqning parallellik hamda perpendikulyarlik sharti

4.Berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi

I.To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli

tenglamasi

y = kx+b tenglama to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi deyiladi. U ikki parametr

k va b ga bog’liq. To’g’ri chiziqning tekislikdagi vaziyati shu parametrlar bilan to’liq aniqlanadi.

k = tgc

Tekislikda ikki to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, ularning burchak koeffitsientli tenglamalari

y = k1x+b1 y = k2x+b2 bo’lsin. Bunda ki = tgci k2 = tga2

tgc - tga2

tg C2 k2

tg& = tgС -с2> =
tgc = ki

k1 k2

Tekislikda ikki to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, ularning burchak koeffitsientli tenglamalari bo’lsin. y = kx+b y = k2x+b2
Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakning tangensi

b”ladi' k, - k, tgrn- 1 2

1 + kk

Agar ikki to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak v=0 bo’lsa, bu

—1 — = О bo’ lib , unda кл = k2

1 + kk2 1 2

to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel bo’ladi yoki ustma-ust tushadi.

Agar ikki to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak

bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar o’zaro perpendikulyar bo’ladi

x + 5у + 9 = 0 2x - 3y +1 = 0 r

va

WWvV-

to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakn

toping.
Echish. (2) formulaga ko'ra:

1 ■ 2 + 5 ■ (-3)

COS£?
_ 2-15 _ 42 Vl2+52 ■ ^22 + i-Sf'~ V26VT3 ” ~~2

bo'ladi. Demak. ^ .

wwwwwwwwww Iw

2~r ^ ®va 6;y + 5 0 to'g'ri chiziqlarning o'zaro

члучллучл W X L-f

parallelligi yoki perpendikulyarligini tekshiring.

A, B,

Echish. Bu erda Ai - 2> - 4> Bi ~ ~3- B2--6 _ A2 va 52 nisbatlarni

wwwvwwwvw*

VvWvV.
wvwwwvwywww*

1 1

solishtiramiz: 4 6 2 2 _ Demak, berilgan to'g'ri chiziqlar o'zaro

WvVwAAwvW- X

parallel.

4.Berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasininq tenglamasi

Tekislikda m = (xo Уо) nuqta berilgan bo’lib. Ma’lumki, to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi. у = kx + b ko’rinishda bo’lar edi.Aytaylik bu to’g’ri chiziq berilgan m0(x0 y0) Nuqtadan o’tsin. Unda y0 = kx0 + b tengliklardan.

У - Уо = k(x - xo)

Bu formula berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar
x
dastasining tenglamasi у"
о

A,B, nuqtalarning koordinatalari berilgan bo'lsa,quyidagilar topilsin:

AB to'qri chiziqning kanonik tenglamasini

AB to'qri chiziq bilan OX o’qi orasidagi burchakni

I *. _ J .---i .'=-^ .. -УЛ Л

Зх + у ~ 4y - 0ya 2л - у+ 1-0 j-0'o-'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi orqali

R e j a 1
1 + kk 5

4.Berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar dastasininq tenglamasi 11

chiziq tenglamasini tuzing.

k2 _ tg — =^ bo o lib, unda

1 + kxk2 2

1 + kx k2 _ 0

• ^ 1

ya ni k _ —

k 2
To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi.
Ordinata o’qini kesuvchi d to’g’ri chiziq olaylik. Bu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori (a1,a2) bo’lsa, va vektorlar kolleniar bo’lmaydi, shuning uchun a10.

2. To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini

Ax + By + C = 0 (13.6)

tekshiraylik, ya’ni A,B,C larning ba’zi birlari nolga aylanganda to’g’ri chiziqning koordinatalar sistemasiga nisbatan joylanishini o’rganaylik:

1. C = 0 bo’lsa, (13.6) tenglama ushbu Ax + By = 0 ko’rinishni oladi, 0 nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi, demak, to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi va aksincha Od bundan A0+B0+C = 0=>C = 0

Shunday qilib (13.6) to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tishi uchun C=0 bo’lishi zarur va yetarlidir.

2. A=0 bo’lsin, (13.6) =>By+C=0. R(-B,0). Bu yo’naltiruvchi vektor e1 koordinat vektorga kollinear, demak, d||OX,

Shunday qilib, y = b tenglama ordinata o’qidan b kesma ajratgan va ox o’qiga parallel to’g’ri chiziq (42-chizma).

Agar A=0, C=0=> By=0=> y=0, demak, d to’g’ri chiziq OX o’qi bilan ustma-ust tushadi.
4.B = 0 bo’lsa, bunda 2-holdagiga o’xshash d to’g’ri chiziq OY o’qqa parallel joylashadi (42-chizma) va bu holda C=0 bulsa, (Ax=0=>x=0) d to’g’ri chiziq OY o’qi bilan ustma-ust tushadi.

To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi quyidagicha:

(*)

Bu yerda berilgan sonlar. to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta.Unga mos to’g’ri chiziqning berilish usullarini qarab chiqamiz.

. U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’ladi. (16.2 chizma)

. U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq o’qiga parallel bo’ladi. (16.3 chizma)

. U holda (*) dan kelib chiqadi. Ya’ni bu to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tadi. (16.4 chizma)

16.2 chizma 16.3 chizma

16.4 chizma

Faraz qilaylik va bo’lsin. tenglikdan kelib chiqadi. Tenglikning ikkala tomonini ga bo’lamiz.

Agar va belgilashlarni kiritsak;

(**)
(**) tenglikka to’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi deyiladi. Bu yerda va modul jihatdan to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan ajratgan kesmalar uzunligiga teng. (16.5 chizma)

(16.5 chizma)

To’g’ri chiziq parametrik tenglama bilan ham beriladi.

, (***)

Misollar:

ning qanday qiymatlarida to’g’ri chiziq o’qining musbat (manfiy) yo’nalishini kesib o’tadi.

ning qanday qiymatlarida to’g’ri chiziq koordinatalar tekisligining birinchi choragini kesib o’tmaydi.

Ushbu va tenglamalar bilan berilgan to’g’ri chiziqlar o’qiga nisbatan simmetrik joylashganligini ko’rsating

To’g’ri chiziqning vektorli tenglamasi.

Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari.

Fazoda ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.

To’g’ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

Tekislik va to’g’ri chiziq orasidagi burchak.

1. Fazoda berilgan nuqtadan o’tuvchi va berilgan yo’naltiruvchi vektorga ega bo’lgan to’g’ri chiziq vektorli tenglamasi. Fazoda to’g’ri chiziqning holati u o’tadigan biror nuqta va to’g’ri chiziq parallel bo’lgan yo’naltiruvchi vektorning berilishi bilan to’la aniqlanadi. Uning tenglamasini yozish uchun unda ixtiyoriy nuqta olamiz.

2. Fazoda to’g’ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalari.
bo’lganligi uchun (1) tenglamadan vektorlarning tengligiga asosan, (2) tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bunga to’g’ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi, bunda parametr. (2) tenglamadan parametrni topsak, (3) tenglama kelib chiqadi. (3) tenglamaga to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
3. Fazoda umumiy va proektsiyalarga nisbatan hamda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari. Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan iborat deb ham qarash mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda quyidagi sistema
(4)
orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada koeffitsientlar mos ravishda koeffitsientlarga proportsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Bunga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. (4) sistemadan birinchi noma’lumni, keyin noma’lumni yo’qotsak, (5) tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama o’qqa parallel bo’lgan tekislik, ikkinchisi o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan to’g’ri chiziqni va koordinat tekisliklariga proyeksiyalaydi. (5) sistemaga to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
va berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi tekislikda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidagidek ushbu ko’rinishda
(6) bo’ladi.
4. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. Fazoda ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin: Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka teng bo’lib,
(7) formula yordamida topiladi. Berilgan to’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa, (8) bo’lib, bu fazoda ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi.
To’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, yo’naltiruvchi vektorlar ham perpendikulyar bo’lib, (9) bo’ladi, bu ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartidir.
5. Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb, to’g’ri chiziqning tekislikdagi proektsiyasi bilan to’g’ri chiziq orasidagi qo’shni burchaklardan biri olindi (17-chizma).
17-chizma.

To’g’ri chiziq kanonik tenglamasi bilan, tekislik umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. burchakni topish uchun to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori vektor bilan tekislikning normal vektori orasidagi burchakni hisoblaymiz:

. burchak burchakni gacha to’ldiradi. Demak,
. Shunday qilib, (10) bo’ladi. (10) fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish formulasi.
To’g’ri chiziq tekislikka parallel bo’lsa va vektorlar perpendikulyar bo’lib,
(11) tenglik o’rinli bo’ladi. (11) tenglikka to’g’ri chiziq va tekislikning parallellik sharti deyiladi. To’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, va vektorlar parallel bo’ladi va (12) munosabat kelib chiqadi. (12) tenglik to’g’ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik sharti bo’ladi.
(11) shart bajarilmasa to’g’ri chiziq va tekislik kesishadi. Kesishish nuqtasini topish uchun, ushbu

uch noma’lumli tenglamalar sistemasini yechish kerak bo’ladi..