Identifikatsiyalash

5.2. Gradientlar usuli

N ta ulchovli evklid fazosi e_n ning biror soxasida uzlarining birinchi tartibli xosilalari bilan birgalikda uzluksiz funksiyalar toʻplamini S^/ bilan belgilaymiz.

N oʻlchovli funksiyaning gradienti proeksiyalari

lardan iborat boʻlgan vektor ustun boʻlib, gfad f yoki f simvollar orqali belgilanadi va koʻyidagicha aniqlanadi:
grad f = f=
bu erda ortlar, f simvol «nabla f» deb ukiladi.
Gradientni koordinata oʻqlariga proeksiyalari orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
f(X)=
funksiyaning berilgan nuqtaning gradienti

koʻrinishda yoziladi.
Berilgan nuqtada f(X) funksiyadan gradient yoʻnalishi boʻyicha olingan xosila eng katta qiymatga erishadi va

ga teng boʻladi. Demak, bundan gradient yoʻnalishi funksiyaning eng tez oʻsish yoʻnalishidir degan xulosaga kelish mumkin.
f(X) funksiyaning nuqtadagi gradienti nuqtadan oʻtuvchi yuksaklik sirti (f(X)=const) ga perpendikulyar boʻladi.

vektor f(X) funksiyaning nuqtadagi tezrok kamayish yoʻnalishi koʻrsatadi va uning nuqtadagi antigradienti deb ataladi.
Agar nukta f(X) funksiyaning statsionar nuqtasi boʻlsa
0 tenglik bajariladi.
Yukorida f(X) funksiyaning berilgan nuqtada gradient yoʻnalishi boʻyicha olingan xosilasi xaqida gapirdik.
Berilgan nuqtada funksiyadan yoʻnalish boʻyicha olingan hosila quyidagi limit orqali aniqlanadi.

Agar f(X) funksiya nuqtada differensiallanuvchi funksiya boʻlsa, ixtiyoriy uchun mavjud boʻladi, xamda
oʻrinli boʻladi. Xaqiqatdan xam ixtiyoriy kichik uchun
.
Bundan

va
=
Ma’lumki,
=
Demak, =
Bundan koʻrinadiki, f(X) funksiyadan nuqtada S yoʻnalish boʻyicha olingan xosila boʻlganda maksimal qiymatga erishadi. Demak, S yoʻnalish nuqtadagi funksiya gradientining yoʻnalishi bilan bir xil boʻlganda maksimal qiymatga erishadi. SHuning uchun xam gradient boʻylab yoʻnalish f(X) funksiyaning nuqtadagi eng tez oʻsish yoʻnalishi boʻladi. Xuddi shuningdek, antigradient boʻylab yoʻnalish f(X) funksiyaning nuqtadagi eng tez kamayishi boʻlishini koʻrsatish mumkin.Gradientlar usuli yuqori yaqinlashish xususiyatiga ega emas va uning yordamida funksiya local ekstremum qiymatini topish mumkin. Gradientlar usulida “Separabel” koʻrinishidagi funksiyaning optimal qiymatini topish mumkin. Usulning mohiyatini misol yordamida koʻrib chiqamiz.
Funksiya berilgan boʻlsin: , , , . Funksiyaning ekstremal qiymati topilsin.
Boshlangʻich A₀ nuqtaga nisbatan oʻzgaruvchilar gradientlarining proeksiyasi topiladi.


Gradientlar usulidan foydalanilganda biron bir oʻzgaruvchining oʻzgarish qadami tanlanadi. Faraz qilaylik, boʻlsin. Ikkinchi x₂ oʻzgaruvchining oʻzgarish qadami quyidagicha topiladi.

.
Yangi nuqtaning koordinatalari topiladi.

Masala davom etadi, quyidagi shart bajarilgunga qadar
,
ya’ni

.
Shart bajarilmadi, demak, masala yana davom etadi.