Ii. 1 n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Reja:

I. Kirish

II. 1) n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
2) Ostragradskiy-Liuvill formulasi va uning tadbiqi.
3) Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi.
4) Ostragradskiy-Liuvil-Yakobi formulasi.
III. Misollar.
IV. Xulosa.
V. Foydalanilgan adabiyotlar.

n-tartibli differensial tenglamalarning muhim xususiy xoli n- tartibli chiziqli differensial tenglamalar bolib , ular

y⁽ⁿ⁾ +p₁(x)y^(n-1)+…+p_n-1y`+p<sub>n</sub>(x)y=g(x) (1)
ko’rinishda yoziladi. Bu yerda p<sub>1</sub>(x), … , p<sub>n-1</sub>(x), p<sub>n</sub>(x), g(x) funksiyalar biror I intervalda aniqlangan va uzluksiz bo'lib, g(x) funksiya (1) tennglamaning o'ng tomoni yoki erkin hadi, p<sub>1</sub>(x), … , p<sub>n</sub>(x) funksiyalar esa uning koffisentlari deb yuritiladi.
Agar (1) tenglamada g(x) funksiya I intervalda aynan nolga teng bo’lmasa, u holda (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi. Agar g(x) 0, x bo'lsa, mos differensial tenglama
y<sup>(n)</sup> +p<sub>1</sub>(x)y<sup>(n-1)</sup>+…+p<sub>n</sub>(x)y=0 (2)
chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.
Noma’lum funksiya y(x) ga nisbatan (2) tenglamaning chap tomonida ko’rsatilgan amallar (differensiallash, p<sub>i</sub>(x) funksiayalarga ko’paytirish va qo’shish) qo’llanish natijasi n- tartibli chiziqli differensial operator deb yuritiladi va L[y] deb belgilanadi, ya’ni :
L[y] y<sup>(n)</sup>+p<sub>1</sub>(x)y<sup>(n-1)</sup>+…+p<sub>n-1</sub>(x)y`+p_n(x)y.
Bu operator yordamida (1) va (2) tenglamalar
L[y]=g(x), (3)
L[y]=0 (4)
ko’rinishida yoziladi.
Kiritilgan L[y]operatorning quyidagi muxim ikki xossasi bor:
1^o). L[y₁+y₂]=L[y₁]+L[y₂], y₁ Cⁿ , y₂ Cⁿ ; 2^o). L[Cy]=CL[y], y Cⁿ, C=const.
Teorema. Agar y=y₁ (x), y=y₂ (x) funksiyalar I intervalda
(4)tenglamaning yechimlari bo’lsa, y xolda y=y₁ (x)+y₂(x) funuksiya xam I intervalda (4) ning yechimi bo’ladi
Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra L[y₁+y₂]=L[y₂]=0 teorema isbot bo’ladi.
Teorema. Agar y₁(x) funksiya I intervalda (4) ning yechim bo’lsa , y xolda Cy₁(x) (C- ixtiyoriy o’zgarmas ) funksiya xam shu I intervalda (2) tenglamaning yechimi bo’ladi. Isbot. Shartga ko’ra L[y₁]=0. 2^o xossaga ko’ra bundan L[Cy₁]=CL[y₁]=0 kelib chiqadi.Teorema isbot boladi.Agar. y₁(x), y₂(x),…,y_k(x) funksiyalar I intervalda (4) tenglamaning yechimi bo’lsa, y xolda shu intervalda C_iy_i(x) funksiya xam (4) ning yechimi bo’ladi .
Agar kaeffisentlari p₁(x), x xaqiqiy bo’lgan (4) tenglama y(
x)=u(x)+i(x) kompleks yechimga ega bo’lsa,y xolda u (x)va (x), I funksiyallarining xar biri (4) tenglamaning yechimi bo’ladi.
L[u(x)+iⱴ(x)]≡0.dan L[u(x)]+iL[ⱴ(x)]=0 ga ega bo’lamiz.Bu ayniyat bajarilishi uchun L[u(x)]≡0, L[ⱴ(x)]≡0 bo’lishi zarur va yetarli.Teorema isbot bo’ladi.
Biror Iintervalda aniqlangan φ₁(x),φ₂(x), … , φ_k(x) funksiyalari berilgan bo’lsin
Ta’rif. Agar bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday α₁,α₂ , … ,α_k o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, I intervalda ushbu .
α₁φ₁(x)+α₂φ₂(x)+…+α_kφ_k(x)≡0 (5)
ayniyat o’rinli bo’lsa ,u xolda φ₁(x),φ₂(x),…,φ_k(x) funuksiyalar I intervalda chiziqli bog’liq deyiladi.
Agar yuqorida aytilgan α₁,α₂ , … ,α_ksonlar mavjud bo’lmasa,yani (5) ayniyat o’zgarmaslarning faqat nolga teng qiymatlaridagina o’rinli bo’lsa,u holda φ₁(x),φ₂(x), … , φ_k(x) funksiyalar I intervalda chiziqli erkli deyiladi.
Agar Iintervaldaφ_i(x)≡0, 1≤i≤k bo’lsa, uxolda φ₁(x),φ_i(x), … , φ_k(x) funksiyalar I intervalda chiziqli bog’liq bo’ladi.
Ushbu F(x)=f₁(x)e^λ1x+f₂(x)e^λ₂^x+…+f_m(x)e^λ_m^x
Kvazikko’pxad berilgan va λ₁, λ₂,…, , λ_m lar o’zaro turli sonlar bo’lsin.Agar shu kvaziko’pxad biror Iintervalda aynan nolga teng bo’lsa,u xolda xamma f₁(x), f₂(x),…,f_m(x) ko’pxadlar aynan nolga teng bo’ladi.
Isbot. Isbotni m soni bo’yicha induksiya bilan isbotlaymiz.m sonni kvaziko’pxadning tartibi deb ataymiz.m=1 bo’lganda to’g’ri,chunki bu holda F(x)=f₁(x)e^λ₁^x va f₁(x)e^λ₁^x ≡0, x€I ayniyatdanf₁(x)≡0 , x€I kelib chiqadi.Endi m-1
dan m(m≥2) ga induktiv o’tishni bajaramiz. Agar F(x) kvaziko’pxad I intervalda aynan nolga teng bo’lsa, u holda bu natija ushbu
G(x)=p¹⁺¹(F(x)e^-λ_m^x)
kvaziko’pxad uchun ham o’rinli (bu yerda p-differensiyallash operato’r, l esa f_m(x) ko’pxadning darajasi). Bevosita xisoblash yordamida
G(x)=g₁(x)e^(λ₁^-λ_m^)x+g₂(x)e^(λ₂ ^-λ_m^)x+…+g_m-1^(x)e^(λ_m-1^-λm)x
ni ko’rsatish mumkin,bunda
g_i(x)=(p+λ_i-λ_m) ⁱ⁺¹f_i(x),i=1,2,…,m-1.
G(x)kvaziko’pxadning tartibi m-1 ga teng. Shu G(x) kvaziko’pxad I intervalda aynan nolga teng bo’lgani uchun induksiya faraziga ko’ra barcha g₁(x); g₂(x),…, g_m-1(x) ko’pxadlar I da aynan nolga teng. Faraz etaylik,f₁(x),…,f_m-1(x) ko’pxadlardan birontasi,masalan.f₁(x) nolga teng bo’lmasin, yani f₁(x)≠0, x I.Shu f₁(x) ko’pxadning darajasi k bo’lsin, yani f₁(x)=a₀x^k+a₁x^k-1+…+a_k, bunda a₀≠0. Bevosita tekshirish mumkin:
g₁(x)=(p+λ_i-λ_m) ^l+1f₁(x)=(λ_i-λ_m)^l+1a₀x^k+… .
Endi g₁(x)≡0,x I ayniyatga ko’ra (λ_i-λ_m)^l+1a₀=0 tenglikka ega bo’lamiz.Ammo λ_i ≠λ_m ga ko’ra bundaa₀=0 kelib chiqadi.Bu ziddiyat f₁(x),…,f_m-1(x) ko’pxadlar I da aynan nolga tengligini isbotlaydi.Demak,F(x)=f_m(x)e^λ₁^x ga egamiz. Bundan F(x) ≡0 bo’lishi uchun f_m(x)ko’pxadning barcha kayffisentllari nolga tengligi kelib chiqadi.Shunday qilib,F(x) ≡0, x I ayniyat o’rinli bo’lsla, f(x) ≡0, x I ayniyatlar xam o’rinli bo’lishi isbot etildi.
Agar φ₁(x),……φ_k(x) kunksiyalar I intervalda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, bazi shartlarni qanoatlantirsa.φ₁(x),…φ_k(x)kunksiyalar I intervalda (k-1)-tartibgacha uzluksiz xosilalariga ega bo’lsin,yaniφ_i(x) C^k-1(I).Ushbu

W(x)=W[φ₁, φ₂, …, φ_k]=

determinant Vronskiy determinanti yoki vronskian deyiladi.

Agar φ₁(x),φ₂(x),…,φ_k(x) funksiyalari I intervalda chiziqli bog’liq bo’lib,(k-1)-tartibigacha uzluksiz xosillalarga ega bo’lsa,u xolda I intervalda bu funuksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinanti aynan nolga teng bo’ladi.
Teorema; Agar φ₁(x),φ₂(x),…,φ_n(x) funksiyalar (2) tenglamaning I intervalda
aniqlangan va tegishli boshlang’ich shartini qanoatlantiradigan yechimlari bo’lib,ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti biror x=x₀, x₀ I nuqtada nolga teng bo’lsa, u xolda I intervaldaW[φ₁, …, φ_n]≡0 va φ₂(x),…,φ_n(x) funksiyalar chiziqli bog’liq bo’ladi.
(4) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsin.U xolda W(x₀)≠0 bo’ladi.Aks xolda W(x₀)=0 dan W(x₀)≡0,x I va demak,φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x) yechimlarining chiziqli bog’likligi kelib chiqar edi.Teorema to’la isbot ⁽⁾bo’ldi.
Ushbu φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x) funksiyalari I intervalda (4) tenglamaning x I
φ₁ (x₀)=1, φ₂ (x₀)=0,…,φ_n (x₀)=0,
φ'₁ (x₀)=0, φ^'₂ (x₀)=1,…,φ^'_n (x₀)=0,
φ₁^(n-1)(x₀)=0, φ₂^{(n-1 )}(x₀)=0,…,φ_n^(n-1)(x₀)=1,
boshlang’ich shartlarini kanotlantiruvchi yechimlari bo’lsin.Endi (4) tenglamani
y⁽ⁿ⁾=-p₁^(n-1)(x₀)=0,-p₂^{(n-2 )}--…--p_n-1^(n-1)(x)y^'-p_n(x)y
ko’rinishda yozsak,bu tenglamaning o’ng tomoni y,y^',…, y^(n-1) larga nisbatan ixyiyoriy soxada Lipshis shartini kanotlantiradi va har birini kanotlantiradigan yagona yechim mavjud.shuning uchun ,

W[φ₁ (x₀),…,φ_n(x₀)= =1≠0

Tengsizlikkako’ran-tartiblichiziqlibirjinslidifferinsiyaltenglamaningntachiziqlierkliyechimlarimavjud.
Agar φ₁(x),φ₂(x),…,φ_n(x) funksiyalar (2) diffrensiyal tenglamaning I intervalda aniqlangan chiziqli erkli yechimlar bo’lsa, u xolda umumiy yechim ushbu
y=C₁ φ₁(x)+C₂φ₂ (x)+…+C _nφ_n(x) (6)
(C₁, C₂,…, C_n—ixtiyoriy o’zgarmaslar) fo’rmula bilan yoziladi.
Ta’rif. n-tartibli chiziqli bir jinsli differensiyal tenglamaning chiziqli erkli yechimlari φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x) x I yechimlarining fundamental sistemasi deyiladi.
Agar biror I intervalda aniqlangan φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x) funksiyallari chiziqli erkli bo’lib,n marta uzluksiz differensiyallanuvchi bo’lsa, u xolda bu funksiyalar yagona n-tartibli chiziqli bir jinsli diffrensiyal tenglama yechimlarining fundamental sistemasi bo’ladi.
Isbot.Berilgan fundamental sistemaga ushbu ikkta chiziqli bir jinsli diffrensiyal tenglama mos kelsin deylik;
y⁽ⁿ⁾+p₁ (x)y^(n-1)-…+p_n (x)y=0 (7)
y⁽ⁿ⁾+q₁ (x)y^(n-1)-…+q_n (x)y=0 (8)
bu yerda p_i(x) (I), q_i(x) C (I), i=1,2,… , n.Endi p_i(x)≡q₁(x), i=1,2, … , n ,x I ekanini isbotlaymiz. Uning uchun (7) dan (8) ni xadma –xad ayiramiz:
[p₁ (x) -q₁ (x)] y^(n-1)+ … +[p_n(x)-q_n(x)]y=0. (9)
Bu diffrensiyal tenglama xam (7) , (8) , tenglamalar kabi φ₁(x),φ₂(x),…,φ_n(x) yechimlarga ega. (9)tenglamada biror i(1≤i≤n) uchun p₁ (x₀)-q_i (x₀)≠0, x₀ I bo’lsin.U xolda p_i (x) - q₁ (x)kayffisenti x ning yetarli kichik atrofida noldan farqli bo’ladi. Demak x₀ ning yetarli kichik atrofida p_i (x) - q₁ (x)≠0 bo’lganda (9) tenglama (n-1)-tartibli bo’ladi va u n ta chiziqli erkli φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x)
yechimlarga ega bo’lishi kerak. Bu ziddiyatdir. Shunday qilib.p₁ (x)=q_i (x) , x I
Endi φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x) funksiyalari I intervalda aniqlangan bo’lib,yechimlarning fundamental sistemasini tashkil etsin deyli. Ixtiyoriy φ_i(x) , x I yechim shu funuksitalar bilan chiziqli bog’liq bo’lgani uchun φ₁ (x),φ₂ (x),…,φ_n (x),φ(x) funksiyalardan tuzilgan vronskian aynan nolga teng bo’ladi
(y=φ₁(x),y=φ(x) ):

W[y₁, y₂, … , y_n , y]== =0

Aslida biz izlangan diffrensiyal tenglamani yozdik.Bu tenglama chiziqli bir jinslin ekaniga ishonish uchun (10) dagi determinantni oxiriga ustun elementlari bo’yicha yozamiz:

W[y₁, y₂, … , y_n ,]y^(n)_ y^(n-1)+…+

+(-1)ⁿ y=0. (11)
Ravshanki, chiziqli erkli yechimlar uchun W[y₁, y₂, … , y_n ]≠0.Shuning uchun (11) tenglamaning xamma xadlarini W[y₁, y₂, … , y_n ] ga bo’lamiz. Natijada (2) ko’rinishidagi tenglama xosil bo’ladi. Masalan, (2) dagi p₁(x) uchun ushbu
P₁(x)=-
munosabat chiqadi.Bundan vronskian uchun muhum fo’rmula chiqarish mumkin.Uning uchun avval

Ayniyat o’rinli ekaniga ishonch xosil qilamiz.Yo’l elementlari bo’yicha determinant xosilasini olamiz:

+

+…+

Ravshanki,vronskianning xosilasi n ta n-tartibli determinantlar yig’indisidan iborat bo’lib oxirgisidanan avalgi (n-1) tasining xar bir 2 ta bir xil yo’l elementlariga ega.Shuning uchun ular nolga teng bo’lib, faqat oxirgi determinati qoladi. Bu esa izlangan determinant. Shunday qilib, ushbu
P₁(x)=- formula xosil bo’ladi. Uni birinchi tartibli o’zgaruvchilari ajralgan differinsiyal tenglama kabi integrallaymiz:
x₀x I , x I
Bunda x=x₀ da C=W (x₀) . demak,
(12)
formulaga egamiz. Bu formula Ostrogorskiy-Luvill nomi bilan ataladi.Ostrogorskiy-Luvill formullasidan avvaldan malum natija yani
W(x₀)=0 bo’lgandaW(x)≡0 x I ;W(x₀)=0 bo”lsa,W(x)≠ 0 x I ekani kelib chiqadi .Yana bu formuladan ikkinchli tartibli chiziqli diffrensiyal tenglamalarni ularning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lganda integrallash uchun foydalaniladi.Xaqiqatdan,
y^''+p₁(x)y^'+p₂(x)y=0
tenglamaning xususiy yechimi y=ψ(x)≠0,x I bo’lsin.(12) formulaga ko’ra
=C₁ yoki ψ(x)y^'-yψ^'(x)=C₁
Bu birinchi tartibli difrensiyal tenglama bo’lib, uning chap tomoni
μ= ga ko’paytirilishi natijasida to’liq diffrensiyalga keladi, yani
=
Bundan: =

Yoki. Y=

Normal sistemasi, qisqacha

Diffrensiyal tenglamalarning narmal sistemasida f₁(x, y₁, … , y_n), … , f_n(x, y₁, … , y_n) funuksiyalari y₁, y₂, … , y_n argumentlari bo’yicha chiziqli, yani
f₁(x, y₁, … , y_n)= (x) y_j+b_j (x), i=1,2,…,n
ko’rinishida bo’lsa, biz narmal sistemalarning muxim xususiy ko’rinishiga ega bo’lamiz. Bunday sistemalarni chiziqli diffrensiyal tenglamalarning normal sistemasi, qisqacha, chiziqli sistema deb yuritiladi.
Ushbu
(x) y_j+b_j (x),i=1,2,…,n (1)
Sistema chiziqli diffrensiyal tenglamalarning normal sistemasi deyiladi.Bunda funksiyalar sistemaning koffisentlari, funksiyalar esa ozod xadlari deyiladi. Barcha funksiyalar biror I intervalda aniqlangan va uzluksiz. Agar bolsa u xolda (1) sistema chiziqlio’zgarmas koffisenti deb yuritiladi.Bunday sistemalarni aloxida o҆rganamiz. Qulaylik uchun ushbu belgilashlarni kiritamiz:
A(x)=
b(x)= =(b₁(x), b₂(x), … , b_n(x))^* (2)
(bunda ^* belgi transponirlashni anglatadi ).Shu A (x) matrisa va b (x) ustun –vektori yordamida (1) sistema

=A (x)y+b (x) (3)
ko’rinishida yoziladi.Agar sistema (3) ko’rinishida yozilgan bo’lsa, u vektor-matrisa ko’rinishida berilgan deyiladi.
Agar b(x) 0, x I munosabat o’rinli bo’lsa, (3) tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
Ushbu =A (x) y (4)
tenglama esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan (3) tenglamaga mos chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.
Agar A (x) matrissaning barcha elementlari, ya’ni
(x) y_j+b_j (x),i=1,2,…,n
funksiyalar biror I intervalda uzluksiz bo’lsa, u xolda A (x) matrisa shu I intervalda uzluksiz deyiladi. Yana b (x) vektorning kardinatalari biror I intervalda uzluksiz bo’lganda , shu b (x) vektori I intervalda uzluksiz deb yuritiladi.
Keyingi muloxazalarning qulayligi uchun L operatorini
L (x) = -A (x) y (5)
tenglik yordamida kiritamiz. Agar p= va E- birlik n x n matrissa bo’lsa, (5) ni yana ushbu
L (p) y = (pE-A(x)) y
Ko’rinishida yozish mumkin. Kiritilgan L operato’ri yordamida (4) tenglama ushbu sodda:
L (y)=0 yoki L (p) y=0 (6)
ko’rinishida yoziladi.
Avval L (p) operato’rining xossalarini o’rganamiz:
1-xossa. Agar C – ixtiyoriy o’zgarmas son bo’lsa,
L (Cy) = CL (y)
ayniyat o’rinli.
Xaqiqatan,
L (Cy)= A (x) (Cy)=C –CA (x) y=CL (y) .
2-xossa. Agar C₁, C₂, … , C_m-ixtiyoriy o’zgarmas sonlar bo’lsa,
L = L (y⁽ⁱ⁾)
ayniyat o’rinli, bunda y¹, y², … ,y^(m) biror vektor-funksiyalari. Xaqiqatan, sodda muloxazalar yordamida topamiz:
L = L -A (x) = ( =
=y⁽ⁱ⁾)- (A(x)y⁽ⁱ⁾)= ( y⁽ⁱ⁾-A (x)y⁽ⁱ⁾ )= (y⁽ⁱ⁾).

Agar φ⁽¹⁾(x),φ⁽²⁾(x),…,φ^(m)(x) vektor-funksiyalarining xar biri birorI intervalda (4) tenglamaning yechimi bo’lsa, u xolda bu funksiyalarning chiziqli kambinasiyasi xam yechim bo’ladi.

Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra, L(φ⁽ⁱ⁾(x)),=0, x
Shuning uchun 2- xoosadan foydalansak:
L = L ( ) ≡0 x
Agar y=φ(x) vektor-funksiyalarinin (4) tenglamaning biror I intervalida aniqlangan va φ(x₀)=0, x₀
boshlang’ich shartini kanoatlantiradigan yechim bo’lsa,u xolda I intervalda φ(x) funksiya aynan nolga teng bo’ladi, ya’ni φ(x)=0, x .
Isbot. (4) tenglamaning trivial y=0 yechimi mavjud.Ammo teoremaning shartida qayd qilingan y=φ(x) yechimi shu trivial yechim bilan bir xil boshlang’ich qiymatlarga ega. Shuning uchun chiziqli sistemalar uchun mavjuddlik va yagonalik teoremasiga ko’ra y=φ(x) yechim triviyal yechim bilan butun I intervalda ustma- ust tushadi,ya’ni φ(x)=0, x .
Agar (4) tenglamada A (x) matrissa xaqiqiy bo’lib, shu tenglama y=φ(x)+g(x) , x . Kompleks yechimga ega bo’lsa, u xolda xar bir y=φ(x)+ig(x) , x xaqiqiy vektor- funksiyalari xam (4) tenglamaga yechim bo’ladi.
Isbot. Xaqiqatdan, shar bo’yicha L=φ(x)+ig(x))=0, x .
Bunday 1- va 2- xossalarga ko’ra
L=φ(x)+ig(x) =L(φ(x))+Il(g (x) )=0, x
ammo kompleks funksiya nolga teng bo’lishi uchun uning xaqiqiy va mavxum qismi, nolga teng bo’lishi zarur va yetarli. Shuning uchun L=(φ (x))≡0 ,L(g(x))≡0, x .
Agar bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday α₁, … , α_k o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, ular uchun biror I intevalda ushbu α₁ φ⁽¹⁾ (x)+ α₂ φ⁽²⁾ (x)+…+α_k φ^(k) (x)≡0 ayniyati o’rinli bo’lsa u xolda

vektor-funksiyalari I intervalda chiziqli bog’liq deyiladi. Agar yuqoridagi ayniyat faqat α⁽¹⁾=…=α_k=0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, u xoldaφ⁽¹⁾ (x) , … , φ^(k) (x) vektor-funksiyalari I intervalda chiziqlierkli deyiladi.

Agar biror I intervaldaaniqlangan
φ⁽¹⁾ (x), φ⁽²⁾ (x),…, φ⁽ⁿ⁾ (x),φ⁽ⁱ⁾ (x)= ,i=l, … , n (7)
vektor-funksiyalar sistemasi (4) tenglamaning chiziqli erkli vektor yechimlari sistemasini tashkil etsa,u xolda bu sistema yechimlarining fundamental sistemasi,yoki qisqacha, fundamental sistema deyiladi.
Diffrensiyal tenglamalarning chiziqli bir jinsli sistemasi uchun fundamental Sistema mavjud.
(4) tenglamaning I intervalida aniqlangan n ta yechimi φ⁽¹⁾ (x), … , φ⁽ⁿ⁾ (x) berilgan bo’lsa.Bu vektor-funksiyalardan ushbu
Z (x)= (8)

matrisanituzamiz.Unda birinchi ustunda φ⁽¹⁾ (x) vektorining kardinatalari, k-ustunda φ^(k) (x), k=2, … , n vektorining kardinatalari joylashgan. Shu matrissaning determinant (4) Sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi va W (x) yoki W[φ⁽¹⁾, … , φ⁽ⁿ⁾] deb belgilanadi,ya’ni det z (x)=W (x)

Ravshanki,agar φ⁽¹⁾ (x), … , φ⁽ⁿ⁾ (x) yechimlar chiziqli erkli bo’lsa,u xolda Vronskiy determinant x ning I dan olingan bironta xam qiymatida nolga aylanmaydi.Xaqiqatdan,φ⁽¹⁾ (x), … , φ⁽ⁿ⁾ (x), x .vektor-funksiyalar chiziqli bo’lgani uchun ushbu
α₁φ⁽¹⁾ (x)+…+α_nφ⁽ⁿ⁾ (x)≡0, x
ayniyat faqat α₁=α₂=…=α_n=0 bo’lgandagina o’rinli. I intervalidan olingan ixtiyoriy tayinlangan x uchun φ⁽ⁱ⁾ (x) =0, i=l, … , n sistemani (α₁, … , α_n larga nisbatan ),ko’raylik. U bir jinsli bo’lib, faqat triviyal α₁=…=α_n=0 yechimga ega. Demak, bu sistemaning determinant uchun W (x) ≠0, x munosabat o’rinli. Bu muloxazalardan yuqoridagi yechimlar chiziqli bog’liq bo’lsa, W (x) ≠0, x ayniyati o’rinli o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.Yechumlar fundamental sistemani tashkil etsa, tegishli (8) matrissa integral matrissa yoki fundamental matrissa deb yuritiladi.
Endi Z (x) matrisaning ustunlari (4) tenglamaning yechimlari bo’lgani uchun shu Z (x) matrisa ushbu =A (x) Z (9)
Matrisali tenglamaning yechimi bo’ladi.
Agar Z* (x) matrisa (9) tenglamaning I intervalida aniqlangan biror matrisali yechim bo’lsa, u xolda tartibi n bo’lsa ixtiyoriy o’zgarmas C matrisa uchun Z* (x) C matrisa xam yechim bo’ladi.
Isbot juda soda. Xaqiqatan, (9) tenglamaning ikki tomonini o’ngdan C matrisaga ko’paytiramiz: =C≡A (x) Z^* (x) C
Yoki C=const bo’lgani uchun
≡A (x) Z^* (x) C).
Bunda lemmaning isbotti kelib chiqadi.
Agar Z (x) matrisa I intervalida aniqlangan uzluksiz va uzluksiz difrensiyallanadigan ixtiyoriy φ⁽¹⁾ (x),j=l , … , n vektorlardan yechimlardan tuzilgan bo’lib,detirminantni I da noldan farqli bo’lsa, u xolda bu z (x) matrisa (4) chiziqli tenglamaning I intervalida aniqlangan fundamental sistemasi bo’ladi.
Ostrogradskiy – Liuvill fo’rmullasi.
Agar (9) matrisali tenglamada A (x) matrisa I intervalda uzluksiz bo;lib, Z (x) matrisa (9) tenglamaning shu intervalda aniqlangan matrisali yechim bo;lsa, u xolda I intervaldan olingan ixtiyoriy x va x₀ lar uchun ushbu

Det Z (x) = det Z (x₀) (10)

Formula o’rinli. Bunda SpA (τ) belgi A (τ) matrisaning bosh diyaganali elementlari yig’indisidan iborat bo’lib,A (τ) matrisaning izi deyiladi. (10) formulaning Ostrogradskiy – Liuvill^*) fo’rmullasi deb yuritiladi. Uni Vronskiy determinant orqali xam yozishi mumkin:

W (x)=W (x₀) (10)

Isbot. (10) formulani isbotlash uchun W (x) detirminandan x bo’yicha xosil olamiz. Analizdan ma’lumki, W (x) ning xosilasi

= W₁ (x) +…+W_n (x) (11)
formula bilan xisoblanadi.Bu formulada W_n –n. tartibli determinant bo’lib,W (x) determinantdaan i-yo’li bilan farq qiladi.Bu i-yo’li esa W (x) ning i-yo’li elementlarini diffrensiyallash bilan xosil qilinadi.Albatta,i-yo’li urninga i-ustuni to’g’risida gapirsak xam muloxazlar o’rinli bo’laveradi.Endi W_i (x) ni yozaylik:

W_i(x)=
Bunda i-yo’lidagi xossilalar orniga (9) matrisali tenglamalar kardinatalari orqali yozilishini nazarda tutib. Tegishli ifodalarni qo;yamiz:

W_i(x)=

Endi i-dan boshqa xar bir k-yo’l, k=1,2, … , i-1, i+1, … , n elementlarini tegishli ga ko’paytirib, i-yo’l elementlaridan ayrib tashlaymiz. Natijada quyidagiga ega bo’lamiz:

W_i(x)= = W (x), i=1,2, … , n.
Shunday qilib,(11) fo’rmulaninmunday yozish mumkin:
= W (x) yoki =(S_p A) W (x). (12)
Biz Vronskiy determinant uchun birinchli tartibli bir jinsli diffrensiyal tenglamani xosil qildik. Bu o’zgaruvchilri ajraladigan tenglama.Shuning uchun (12) tenglamaning W (x₀)=W₀ boshlang’ich shartinin qanotlantiradigan yagona yechim (10) fo’rmula bilan yoziladi.Demak Ostrogradskiy – Liuvill formulasi isbot bo’ladi.
MISOLLAR:
(1)
Ushbu 1, x, x², … , x^k funuksiyalar (-∞, +∞ ) intervalda aniqlangan bo’lib,ular shu intervalda chiziqli erkli.Bu tasdiq ixtiyoriy,chekli intervalda xam o’rinli.
Agar teskarisini faraz etsak,bir vaqtda nolga teng bo’lmagan α₁, α₂, … , α_k lar (ya’ni ) uchun ko’rilayotgan chekli yoki cheksiz intervalda olingan x ning barcha qiymatlarida,
α ₀+ α₁x+α₂x²+ … + α_kx^k≡0
ayniyat o’rinli bo’lishi kerak. Ammo algebraning asosiy teoremasiga ko’ra bu tenglik x ning ko’p bo’lsa k ta qiymatidagina o’rinli. Bu ziddiyat yuqoridagi fikirni isbotlaydi.
(2)
Ushbu
e^k₁^x, e^k₂^x, … ,e^k_s^x , k_i k_j, i j
kunksiyalar istalgan I intervalda chiziqli erkli.
Buni isbot etish uchun shu funksiyalar I intervalda chiziqli bog’liq bo’lsin deylik, ya’ni bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday α₁, α₂, … , α_s sonlar mavjudki,I intervalda
F (x)= α₁e^k₂^x+ α₂e^k₂^x +… + α_se^k_s^x ≡0
Ayniyat o’rinli. Bu ayniyatning chap tamonida turgan funksiya kvaziki’pxad bo’lib,unda f₁(x)=α₁, … , f_s (x)=α_s. (1)-lemmaga ko’ra F (x)≡0 ayniyat bajarilsa, unda α₁,= α₂,=, … = α_s=0 kelib chiqadi.Bu esa α₁, … , α_s larning tanlanishiga zid.Demak,berilgan funuksiyalar I intervalda chiziqli erkli.
(3)
Ixtiyoriy I intervalda ushbu 1, cosx, cos² funksiyalari chiziqli bog’liqdir.
Xaqiqatdan, α₁,∙1+ α₂,∙x+α₃∙cos² ≡0 ifodada α₁= 1α, ₂=1, α₃=-2 deyilsa,
Tirganametriyadagi 1+cosx≡cos² (bunda x - ixtiyoriy) ayniyat xosil bo’ladi.
(4)
y^''_+k²y=0, k≠0 tenglama uchun φ₁(x)=coskx, φ₁(x)=sinkx funksiyalar ixtiyoriy I intervalda yechim bo’ladi. Bu funksiyalarning Vronskiy determinant
W(x)= =k≠0
Demak,cosx va sinkx-fundamental sistemani tashkil etadi.U xolda umumuiy yechim bunday yoziladi:
Y=C₁cos kx+C₂sin kx.
(5)
Fundamental sistemasi φ₁(x)=cos ωx, φ₂(x)=sin ωx bo’lgan diffrensiyal tenglama tuzilsin.(11) formulaga ko’ra
=0 yoki

- y=0

ω³y=0 yoki ω²y=0.
Shunga o’xshash fundamental sistemasi φ₁(x)=1 ,φ₂(x)= cosx, bo’lgan diffrensiyal tenglama x≠kπ (k-butun son ) da diffrensiyal tenglamadan iborat ekanini ko’rsatish mumkin.
(6)
Agar φ₁(x)=cos ωx,- ˂x˂ ( ) xususiy yechim bo’lsa, ω²y=0. Tenglamaning umumiy yechimi topilsin. (cosωx) z^' almashtirishni bajaramiz.U xolda.
y¹=
y¹=
Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo’yamiz:
=0.
Endi desak,ushbu

Birinchin tartibli chiziqli diffrensiyal tenglamaga kelamiz.Uni integralab,

ln |u|= dx+lnC^'₁=2ln | u= ∙z^'=u bo’lgani uchun
z^'= dan z= tg C₂. Agar =C₁ desak, y= kelib chiqadi. Bu berilgan tenglamaning umumiy yechimidir.

Mundarija

Kirish……………………………………………………………………………...3 1-§.n-tartibli chiziqli bir jinsli differnsiyal tenglamalar…………………………..4

2-§.Ostragradskiy-Liuvill fo’rmulasi va uning tadbiqi…………………………....5

3-§.Chiziqli bir jinsli differnsiyal tenglamalar sistemasi………………………….6

4-§.Ostragradskiy-Liuvill-Yakobi fo’rmulasi……………………………………..7

I.Amaliy qsim……………………………………………………………………...8

Missolar…………………………………………………………………………….9

Xulosa……………………………………………………………………………..10

Adabiyotlar………………………………………………………………………..11

Оглавление

Введите название главы (уровень 1) 1