Javob: ;
4. Ko’rsatkichli tengsizliklar va ularni yechish usullari.
1. Ko‘rsatkichli tengsizliklami yechish ko‘pincha ax > ah yoki a* 1 da o‘sadi, 0 < a < 1 da kamayadi) asoslanadi. 1- m isol. 2*< 24 ko‘rinishda yozamiz. a =2 > 1 bo‘lgani uchun y=2x funksiya o‘suvchi bo'ladi. Demak, x < 4 da 2X < 24 tengsizlik bajariladi. x > 4 da esa 2X > 24 tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, 2X < 24 tengsizlik x < 4 da to‘g‘ri, x > 4 da esa noto‘g‘ri tengsizlik bo‘ladi, ya’ni 2X < 16 tengsizlik x < 4 bo‘lganda va faqat shunday bo‘lgandagina bajariladi. Javob. x V27 tengsizlikni yeching. Y e c h i s h . Berilgan tengsizlikni (I)‘ > ^ ( I ) ‘ > 3 U ( i ) ‘ > (iV ko‘rinishda yozamiz. a = I < 1 bo‘lgani uchun y = | | j funksiya kamayuvchi bo'ladi. Shuni^g uchun oxirgi teng2 sizlik x < - y bo‘lgandagina va shunday bo‘lganda bajariladi. Javob. 2. Ko'pgina ko‘rsatkichli tengsizliklar r/W > e&x) (a > 0, a * 1) S h u n d a y q ilib , b e r ilg a n te n g la m a la r siste m a si 6 4 j (1) 295 www.ziyouz.com kutubxonasi ko‘rinishdagi tengsizlikni yechishga keltiriladi. (1) tengsizlikni yechish quyidagi teoremalarga asoslanadi. 1 - teorema. Agar a > 1 bo‘lsa, u holda tengsizlik f (x) > g(x) tengsizlikka teng kuchli boHadi. 2- teorema. Agar 0 g(x) tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi. 3- m i s o 1. (0, (4))* *' > (0, (6))* +6 tengsizlikni yeching. Yechish. 0,(4) = ^ , 0,(6) = ^ = j bo‘lishini e’tiborga olib, berilgan tengsizlikning ko‘rinishini o‘zgartiramiz: 4 9 a = -|< 1 bo‘lgani uchun 2-teoremaga ko‘ra 2xI 2-2 < < x 2 + 6. Bu tengsizlikni yechamiz: x 2 < 8 =>l x (< 2V2 => -2\[2 (!) -(!) >(§) \X‘ f6 296 www.ziyouz.com kutubxonasi Quyidagicha belgilash kiritamiz: /(*)=- *-4 U -"H) < 0 . Oxirgi tengsizlikni intervallar usuli bilan yechamiz: f(x) = X —7 ifoda * = y nuqtada nolga aylanadi: x = 1 va x = / nuqtalarda aniqlanmagan. Bu nuqtalar koordinatalar to‘g‘ri chizig‘ini 4 ta qismga bo‘ladi: l-«>; 1[U 1; 4 U ^ U j ; +ooj^: agar x e ] - o o ; l[bo‘lsa, u holda f(x) b, a2x + ax < b, a2x + ax > b, a2x + a30 < b tengsizliklarga keltirilib yechiladigan tengsizliklarga misollar qaraymiz. 297 www.ziyouz.com kutubxonasi 5- m i s o 1. 22x+2 - 0,75 ■ 2X+2 < 1 tengsizlikni yeching Y e c h i s h . an+m - a n • am munosabatdan foydalanib tengsizlikning ko‘rinishini o‘zgartiramiz: 22x -22 -0,75-2* -22-1 < 0 ^ 4 - 2 2* -3-2* -1 < 0 kvadra tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu tengsizlik uchhadning ildizlai oralig‘ida bajariladi: 4/2- 3 / - l = 0 =^/l2 = 3±^ +16 = M , * O Q " < t < 1 => 2 X < 1 => -oo < 2 X < 2° => -oo < x < 0. Javob. - oo< a: 0 tengsizlikni yeching Y e c h i s h . Tengsizlikning har ikkala qismini 9* g; bo‘lamiz: (y )* “ 2 (y )X -8 > 0 => 22x ~ 2 - 2x -8 > 0. Agar 2x~ t desak, r2 — 2r—8 > 0 kvadrat tengsizlikk; ega boMamiz. Bu kvadrat uchhadning ildizlarini topamiz /i = -2; t2 = 4. Olingan kvadrat tengsizlik ]- 0 bo‘lganligi tufayl ]—Q°; -2[ orahq masala mazmuniga mos kelmaydi. Demak 22 < / < +co :=> 4 < 2X < 2X 2 < x < 1 tengsizlikni yeching. Y e c h i s h . 4x2 + 2x +1 kvadrat uchhadning dis kriminanti manfiy, ya’ni D=b2-4ac= 1 - 4 = -3 < 0 298 www.ziyouz.com kutubxonasi x2 oldidagi koeffitsiyent musbat, ya’ni a = 4 > 0 bo‘lganligi uchun x ning barcha haqiqiy qiymatlarida 4x2 + 2x + 1 > 0 bo‘ladi. Bunday holda berilgan tengsizlikning o‘ng qismini (4x2 + 2x + 1)° ko‘rinishda ifodalash mumkin va tengsizlik quyidagi ko‘rinishni oladi: Bu tengsizlikka yuqoridagi ikkala teoremani ham qo‘llab bolmaydi. Chunki 4x2 + 2x + l >0 bo‘lganda 4x2 + 2x+ 1 ifoda va 1 sonidan qaysi biri katta bo‘lishini aniqlay olmaymiz. Agar 4x4 + 2x + 1 > 1 bo‘lsa, (*) tengsizlikka 1-teoremani, agar 4x2 + 2x+ 1 < 1 bo‘lsa, unga 2- teoremani qo‘Ilash mumkin. Demak, ikkita hol bo‘lishi mumkin: O ^ x ^ + lx + lC l yoki 4x2 + 2x + 1 > 1. Shunday qilib, (*) tengsizlik quyidagi ikkita tengsizliklar sistemasini yechishga keltiriladi: Bu tengsizliklar sistemasini yechamiz: < x < 0 , x(x-l) > 0; [{-oo
Do'stlaringiz bilan baham: |
