Ii bob. Integral tenglamalar haqidagi asosiy tushunchalar

14-Ma’ruza
Mavzu:CHIZIQLI INTEGRAL TENGLAMALAR SISTEMALARINI YECHISH
4.1.Bir argumentli funksiya uchun
Bu bobda eng sodda chiziqli integral tenglamalar sistemalari va ba’zi integro-differensial tenglamalar sistemalarini yechish bilan tanishamiz. Biz faqat ikkita noma’lum funksiya uchun yozilgan tenglamalar sistemalarini yechish usullaridan birini ko’rsatamiz. Bu usul noma’lumlarning soni ikkitadan ortiq bo’lganda ham yaroqlidir.Bu bobda ham barcha sistemalarni biz faqat ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz, chunki bu eng umumiy usullardan biridir.
Birinchi paragrafda noma’lum funksiyalari bir argumentli bo’lgan tenglamalarning sistemalarini yechish bila shug’ullanamiz. Eng soda hollaridan birini olaylik.
1-misol.Ushbu chiziq integral tenglamalar sistemasi yechilsin:
(1)
bunda

Bu bobdagi barcha sistemalarning yechimini quyidagi ikkita funksional qator ko’rinishida izlaymiz:

bunda va lar aniqlanishi lozim bo’lgan noma’lum funksiyalardir (i=0,1,2,3,…).
Faraz qilaylik, (1) sistemaning yechimi (2) qatordan iborat bo’lsin.U holda (2) ni (1) ga qo’yish natijasida quyidagi ayniyatlar hosil bo’ladi:

Har bir tenglikning ikki tomonidagi bir xil darajali (m=0,1,2,…) larning koeffitsientlarini o’zaro tenglab olib,ketma-ket va larni topamiz:



deb belgilasak,




va hokazo.
,

Endi topilgan ifodalarni (2) qatorga qo’ysak, izlanayotgan yechim kelib chiqadi.

Faraz qilaylik, bo’lsin.U holda (1) dan Volterra tenglamalarining sistemasi hosil bo’ladi.O’sha sistemaning yechimini hosil qilish uchun (3) da deb olish kerak(n=1,2,3,…).
2- misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin.

bunda .
Bu sistemaga ham (2) qatorlarni qo’yib,ayniyatlar hosil qilamiz.So’ngra larning mos koeffitsientlarini tenglab va larni topamiz:



Bu ifodalarda

deb belgilaylik, u holda

bo’ladi.Bular dan faqat ko’paytuvchi bilangina farq qiladi, shu sababli,

deb yoza olamiz.
Endi mana shu topilgan ifodalarni (2) ga qo’ysak,izlanayotgan yechim hosil bo’ladi:

Agar parametrni tanlab olish bizning ixtiyorimizda bo’lsa, uni shunday tanlab olamizki, natijada bo’lsin.U holda (6) ushbu yechim kelib chiqadi:

Agar deb faraz qilsak,

bo’lib, berilgan sistema ushbu

ko’rinishni oladi va uning yechimi quyidagicha bo’ladi:

3-misol.Ushbu chiziqli integral tenglamalar sistemasi yechilsin:

bunda

Sistemani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish maqsadida uni (2) qatorga qo’yamiz.Natijada ikkita ayniyat hosil bo’ladi.Koeffitsientlarni tenglash yo’li bilan birin-ketin va lar topiladi.



agar

deb belgilasak,

bo’ladi.Xuddi shuningdek,

bu ifodalarda

deb belgilaymiz, u holda

shuningdek,


bu ifodalarda

Tekshirishlar ko’rsatadiki, umuman quyidagicha yozish mumkin:


bu yerda
, n=0,1,2,3,…


Endi topilgan ifodalarni (2) qatorlarga qo’yib, ushbu yechimni hosil qilamiz:

Agar deb faraz qilsak, (10) dan Volterra tenglamalarining sistemasi hosil bo’ladi. Uning yechimini hosil qilish uchun (12) yechimni

deb olish kerak bo’ladi.
Mashqlar
Quyidagi chiziqli integral tenglamalar sistemalari yaqinlashish usuli bilan yechilsin:
1.Ushbu sistema berilgan

bunda
.













Javob:

bunda

2.Ushbu sistema berilgan

bunda .

Javob:

bunda