Iii bob. Vektor fazo

3-tasdiq. Agar vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsa, u holda ulardan kamida bittasi qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalaniladi. Va aksincha, agar vektorlarning bittasi qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalansa, bu vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi.

Misol 2. Agar vektorlar orasida nol vektor bo‘lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi.

Endi fazoning o‘lchami tushunchasini kiritamiz.

4-ta’rif. Agar vektor fazoda ta chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lib, bundan ortiq sondagi chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lmasa, vektor fazo o‘lchamli fazo deyiladi. Vektor fazoning o‘lchami kabi belgilanadi.

Agar fazoda cheksiz ko‘p chiziqli erkli vektorlar mavjud bo‘lsa, u holda fazo cheksiz o‘lchamli fazo deyiladi.

5-ta’rif. o‘lchamli fazodagi ta chiziqli erkli vektorlar fazoning bazisi deb ataladi.

Misol 3. a) To‘g‘ri chiziqdagi vektorlar to‘plamida har qanday ikki vektor proporsional, ya’ni chiziqli bog‘liqdir. Demak, to‘g‘ri chiziq bir o‘lchamli fazoga misol bo‘ladi.

b) Tekislikda ikkita chiziqli erkli vector mavjud, ammo xar qanday uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bundan esa, tekislik ikki o‘lchamli vektor fazo ekanligi kelib chiqadi.

Bizga o‘lchamli vektor fazo va uning biror bazisi berilgan bo‘lsin.

6-teorema. o‘lchamli vektor fazoning ixtiyoriy elementini bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona ravishda ifodalash mumkin.

7-ta’rif. vektorlar o‘lchamli fazoning bazisi bo‘lib,



bo‘lsa, u holda sonlar vektorning bazisdagi koordinatalari deb ataladi.

5-teoremaga muvofiq, ma'lum bazisda xar bir vektor bir qiymatli aniqlanadigan koordinatalarga ega.

Agar va vektor bazisda mos ravishda va koordinatalarga ega bo‘lsa, ya’ni,



U holda vektor koordinatalarga ega bo‘ladi, ya’ni

Shunday qilib, va vektorlarni qo‘shishda ularning bir hil bazisdagi koordinatalari yig‘indisi olinadi.

vektorni soniga ko‘paytirishda esa uning xar bir koordinatasi shu songa ko‘paytiriladi.

Misol 4. a) Bizga uch o‘lchamli haqiqiy vektor fazo berilgan bo‘lsin. Bu fazoda , , vektorlar bazis tashkil qiladi va ixtiyoriy vektorning ushbu bazisdagi koordinatalari bo‘ladi.

b) darajasi dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘lgan fazo bo‘lsin. Bu fazoda vektorlar to‘plami bazis tashkil qiladi, ya’ni Ushbu bazisda ixtiyoriy ko‘phad koordinatalari uning koeffitsientlaridan iborat bo‘ladi.

Agar fazoda boshqa bazis tanlasak, u holda ko‘phadning bu bazisdagi koordinatalarini topish uchun uni Teylor qatoriga yoyiladi:

.

Demak, f(t) ko‘phadning

bazisdagi koordinatalari ko‘rinishida bo‘ladi.

Endi vektor fazolar izomorfizmi tushunchasini kiritamiz.