Iii фазода аналитик геометрия

20 – Текисликни умумий тенгламаси ва уни текшириш.


Фазода тўғри бурчакли координаталар системасида ўзгарувчиларга нисбатан чизиқли
(20,1)


бу ерда , тенглама берилган бўлсин. Исбот киламизки (20,1) текисликнинг тенгламаси. Хакикатдан бўлса (20,2) бўлиб (20,2) тенглама (19,1) куринишдаги тенгламадир, яъни (20,1) текислик тенгламасини ифодалайди. Худи шунингдек (19,1)ни очиб чиксак
ёки


десак, (19,1) тенгламаси хосил бўлади. (19,1)га текисликнинг умумий тенгламаси дейилади. Энди текисликни, умумий тенгламасини текширамиз: текисликни умумий тенгламасини текшириш деганда, А, В, С, D коэффициентларни баъзи кийматлари нолга тенг бўлганда текисликни фазода кандай жойлашганлигани текширамиз:

1. 
   D = 0 бўлсин, бу холда (19,1) тенглама бўлиб координата бошидан ўтади ва нормал вектори бўлади.
   
2. 
   A = 0, B, C, D бўлсин, яъни By+Cz+D=0
   
3. 
   B = 0, A, C, D бўлсин, яъни Ax+Cz+D=0
   
4. 
   C = 0, A, B, D бўлсин, яъни Ax+By+D=0
   

2, 3, 4 хол учун умумий коида келтириб чикарамиз.
Бунинг шу уч холдан бирортасини, Масалан: 3 – холни карайлик. В = 0 бўлса, бўлади, яъни вектор Билан ОУ уки орасидаги бурчак га перпендикуляр бўлади. Энди Ах+Cz+D=0 тенгламани кесмалар шаклига келтирсак



текислик ОХ укидан ва ОУ укидан с бирлик ажратиб векторга перпендикуляр ёки ОУ укига параллель бўлган текислик тенгламасидир. (r – 30) z











y
0

x


z




у




х r - 30
Бундан куринадики текисликнинг умумий тенгламасида ўзгарувчи лардан кайси бири катнашмаса, текислик шу катнашмаган ўзгарувчига мос келувчи координата укига параллел бўлар экан.
5) А = В = 0, C, D бўлсин, яъни Cz+D=0
6) B = C = 0, A, D бўлсин, яъни Ax+D=0
7) А = C = 0, B, D бўлсин, яъни By+D=0
5, 6, 7 хол учун умумий коида келтириб чикарамиз. Масалан: 7 холни карайлик:
А = С = 0 бўлса бўлади, яъни Ву+D=0 текислик учун ОУ уки нормал вектор вазифасини бажаради, ОУ укига перпендикуляр текисликлар эса XOZ текислиги ва унга параллель бўлган текисликлардир. Ву + D = 0 тенгламадан Демак Ву + D = 0 текислик ОУ укидан ва бирлик ажратган ва XOZ текислигига параллель бўлган текисликни ифодалайди.
z




y
r – 31 x
5 – холда текислик OZ укига, 6 – холда ОХ укига параллель бўлади.
Демак текисликни умумий тенгламасида ўзгарувчилардан иккитаси катнашмаса шу катнашмаган ўзгарувчиларга мос келувчи координата текисликларига параллель бўлар экан, М: х ва у катнашмаса теки слик ХОУ координата текисликлигига параллель бўлади, у ва z катнашмаса текислик УОZ текислигига параллель бўлади.
8) А = В = D = 0, С
9) В = С = D = 0, А
10) А = С = D = 0, В


8, 9, 10 холлар 5, 6, 7 холларнинг D=0 бўлгандаги хусусий холидир, яъни текисликнинг умумий тенгламасида озод хад D=0 бўлиб икки ўзгарувчи катнашмаса, текислик шу катнашмаган ўзгарувчига мос келувчи координата текислигини ифодалайди:
Х = 0 тенглама УОZ координата текислигини,
У = 0 тенглама ХОZ координата текислигини,
Z = 0 тенглама ХОУ координата текислигини
ифодалайди (r – 32).

z




у = 0 х = 0
y


z = 0
x