Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstrеmumlari. Yopiq sohada funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari

Shartli ekstremum. Ushbu funksiyaning shartli ekstremumi deb bu funksiyaning va oʻzgaruvchilarni tenglama(bogʻlash tenglamasi) bilan bogʻlanganlik shartida erishadigan ekstremumiga aytiladi.

Agar bogʻlash tenglamasi dan ni topish mumkin boʻlsa, uni funksiyaga qoʻyib shartli ekstremum topish masalasini bir oʻzgaruvchili funksiya ekstremumini topishga keltiriladi.

3-misоl. funksiyaning shartdagi ekstrеmumini toping.

► ni berilgan tenglamaga qoʻyib bir oʻzgaruvchi ning funksiyasini hosil qilamiz:

.

Bu yerda funksiyani shaklda yozish orqali uning ekstremimini elementar usulda topish mumkin. nuqtada funksiya oʻzining eng kichik qiymatiga erishadi. Demak, nuqta berilgan funksiyaning minimum nuqtasi va ekan.◄

Bogʻlash tenglamasini parametrik tenglamalar orqali ifodalanganda ham shartli ekstremum topish masalasi bir oʻzgaruvchining ekstremumini topishga keltiriladi.

Koʻp hollarda, funksiyaning shartdagi ekstremumini Lagranj funksiyasi deb ataluvchi funksiyani oddiy ekstremumga tekshirish yordamida topiladi, bu yerda - noma’lum oʻzgarmas.

Lagranj funksiyasi ekstremumining zaruriy sharti quyidagicha:

4-misоl. funksiyaning shartdagi ekstrеmumini toping.

► 1-usul. ni , parametrik tenglamalar bilan ifodalab, bir oʻzgaruvchi ning funksiyasini hosil qilamiz va kritik nuqtasini topamiz:

.

.

nuqtalarda

,

ya’ni, 1) 2) .

boʻlgani uchun ga mos nuqta maksimum va ga mos nuqta minimum nuqta boladi va , .

2-usul. Lagranj funksiyasini tuzamiz: . Xususiy hosillarini nolga tenglab yechamiz:

Bundan va larni topamiz.

nuqtada va nuqtada . ◄