Ikki o’zgaruvchili tenglamalar va tengsizliklar sistemasi

3. Ikki o’zgaruvchili tenglamalar sistemasi
Qo’ylar va tovuqlar haqidagi masalani quyidagicha ham yechish mumkin: qo’ylar sonini bilan tovuqlar sonini bilan belgilaymiz. U holda masala shartiga ko’ra, tenglamalar tuziladi. Bularning har biri ikki joyli predikatlar bo’lib, ularning chinlik to’plamlari cheksizdir. Biz shunday va larning qiymatlarini topishimiz kerakki, ular tenglamalarning har ikkalasini ham qanoatlantirsin, ya’ni predikatlarning kon’yunksiyasi ni topish kerak. Buni maktabda

(1)

ko’rinishda yoziladi va uni tenglamalarning sistemasi deyiladi. Bunday tenglamalar sistemasining umumiy ko’rinishi

(2)

dan iborat bo’lib, u ikki noma’lum (o’zgaruvchanli) chiziqli tenglamalar sistemasi deb ataladi. Biz quyida shunga ishonch hosil qilamizki, 1–punktda bir noma’lum chiziqli tenglama yechimi uchun aytilgan uchta holatga o’xshash hollar bu sistema uchun ham o’rinli bo’ladi.

6–ta’rif. va o’zgaruvchilarning (2) sistemaning har bir tenglamasini to’g’ri sonli tenglikka aylantiruvchi qiymatlari jufti uning yechimi deyiladi. (2) sistemani yechish uchun uning birinchi tenglamasini ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, ularni ayiramiz. U holda

hosil bo’ladi, agar bo’lsa,

(3)

ga ega bo’lamiz.

(4)

ni topamiz.

Shunday qilib, bo’lsa, (2) sistema yagona yechimga ega bo’ladi. Ushbu

ko’rinishdagi jadval 2 sistemaning matritsasi deyiladi. matritsaning gorizontal qatorlari uning satrlari, vertikal qatorlari esa - ustunlari deyiladi. lar uning elementlari deyiladi. Qaralayotgan matritsa, ikkinchi tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Uning chap yuqori burchagidan o’ng pastki burchagiga boruvchi dioganal uning bosh dioganali deyiladi.

3 va 4 formulalardagi kasrlarning maxraji bosh dioganaldagi elementlar ko’paytmasidan, ikkinchi dioganalda turgan elementlarning ko’paytmasini ayirish natijasida tuzilganligi ko’rinib turibdi: . Bu ifoda matritsaning determinanti deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:

Demak, ta’rifga ko’ra,

=

Quyidagicha tasdiq o’rinli: ikkinchi tartibli determinant nolga teng bo’lishi uchun, uning satrlaridagi yoki ustunlaridagi elementlar proporsional bo’lishi zarur va yetarli.

Yuqoridagi belgilashlar asosida 3 tenglikning surati quyidagi determinantdan iborat:

=.

Bu determinant determinantdagi birinchi ustunni ozod hadlar ustuni bilan almashtirishdan hosil qilingan. Xuddi shunga o’xshash determinantning ikkinchi ustunini ozod hadlar bilan almashtirsak, 4 tenglikning suratidagi ifoda hosil bo’ladi:

Shunday qilib, agar bo’lsa, 2 sistemaning yechimi

lardan iborat va yagonadir. Bu formulalar Kramer formulalari deyiladi.