Ikkinchi tartibli chiziqlar

Giperbolaning shakli.
(3.4) tenglamadan , (3.5) tenglamalarni topamiz.
Bu tenglamalarning birinchisidan ushbu xulosalar chiqadi:
1) uchun ning qiymti mavhum; demak, giperbola o’qi bilan kesishmaydi va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan soha ichida nuqtalari bo’lmaydi.
2) bo’lganda, bo’ladi; demak, giperbola o’qini ikkita va nuqtada kesadi; bu va nuqtalar koordinatalar boshida masofda turadi va giperbolaning uchlari deb ataladi.
3) absolyut qiymti dan katta bo’lgan ning har bir qiymatiga ning ikki qiymati to’g’ri keladi, bu qiymatlar bir – biridan ishoralari bilangina farq qiladi. Demak, giperbola o’qiga nisbatan simmetrik egri chiziqdir;
4) cheksiz o’sganda ham cheksiz o’sadi. Demak, (3.5) tenglamalarning ikkinchisi giperbolaning o’qiga nisbatan simmetrik egri chiziq ekanligini ko’rsatadi.
Giperbolaning hamma nuqtalari to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohadan tashqarida joylashganligidan va ordinatalar o’qiga simmetrikligidan, u cheksiz cho’zilgan ikki ayrim tarmoqdan ibort ekanligi bilinadi.
2.4 Parabola va uning kanonik tenglamasi

Tekislikda fokusi deb ataluvchi berilgan F nuqtadan va direktrisasi deb ataluvchi berilgan DD to`g`ri chiziqdan teng masofada yotuvchi nuqtalar tuplamiga parabola deyiladi.

Abssissa o`qi F fokus nuqtadan DD direktrisaga perpendikulyar ravishda o`tuvchi, ordinata o`qi esa fokus va direktrisalarning o`rtasidan o`tuvchi koordinatalar sistemasi tanlasak, parabola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishni oladi
y² = 2 P x,
bu yerda, P – fokus va direktrisa orasidagi masofa.
Direktrisa tenglamasi , fokus esa F( ; 0 )
Koordinatalar boshi parabola uchi, abssissa o`qi esa uning simmetriya o`qidir. Parabola ekstsentrisiteti ε = 1.
Agar ordinata o`qi parabola simmetriya o`qi bo`lsa, u holda uning tenglamasi x<sup>2</sup>  = 2 P y  (P>0) ko`rinishda bo`lib, direktrisa tenglamasi va fokusi F(0; ) nuqtadir.
Uchi (x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>) nuqtada, simmetriya o`qlari koordinata o`qlaridan biriga parallel parabola quyidagi tenglamalar bilan aniqlanadi:
(y–y<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2P(x–x<sub>0</sub>) yoki (x–x<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2 P(y–y<sub>0</sub>).
Masala. 0y ordinata o`qiga va x² + y² = 4 aylanaga urinuvchi aylanalar markazlari to`plami tenglamasini tuzing.
M(x; y) – aylanalar markazlari to`plamining ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. Masala shartiga binoan KM = AM (7-rasm). Berilgan aylana radiusi 0K=2 ekanligini va KM = 0M – 0K tenglikni hisobga olsak, koordinatalarda quyidagi tenglamani olamiz:

x² + y² - 2 = |x| yoki y ² = 4 |x| + 4.

Ushbu tenglama uchlari (-1; 0) va (1; 0) nuqtalarda, fokuslari koordinatalar boshida, direktrisalari mos ravishda x = -2 va x = 2 to`g`ri chiziqlardan iborat, abssissa o`qi simmetriya o`qi bo`lgan parabolalarni ifodalaydi.

Xulosa
Matematika aniq bir bilim sohasi va turli sohalarga chuqur kirib borayotgan universal vosita bo’lib qolmasdan sivilizatsiyaning ajralmas qismi, umuminsoniy madaniyatning muhim elementi hamda dunyoni ilmiy o’rganish tilidir. Matematik bilim hayot sirlarini o’rganishda, kasb tanlashda muhim bo’lgani bois fikrlash madaniyati tarkibidagi qat’iylik, aniqlik, izchillik, mantiqiylik va asoslanish singari qirralarining shakllanishiga xizmat qiladi. Ulkan iqtisodiy o`zgarishlar yuz bеrayotgan hozirgi davrda matеmatikaning ahamiyati yanada oshdi, shuning uchun ham matеmatik ta'lim katta ijtimoiy ahamiyatga ega. Rеspublikamiz hukumati yoshlarga ta'lim va tarbiya bеrish tizimini takomillashtirish, ta'lim va tarbiyani turmushning oshib borayotgan talablari darajasiga yеtkazish vazifasini qo`ydi.
Ushbu
(1)
Ikkinchi tartibli tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq ikkinchi tartibli egri chiziq deyiladi, bu yerda koeffisentlar haqiqiy sonlar bo’lib, A, B yoki C larning hech bo’lmaganda biri noldan farqli.

Bizga

(2)
aylana tenglamasi malum, Bu x va y larga nisbatan ikkinchi tartibli tenglamadir.
Demak, aylana ikkinchi tartibli egri chiziqdan iborat. Biz to’rt xil ikkinchi tartibli egri chiziqlarni yani aylana, ellips, giperbola va parabolalarni ko’rib o’ttik.
Ellips dеb, har bir nuqtasidan bеrilgan ikki nuqtagacha (fokuslargacha) masofalarning yig¢indisi o¢zgarmas 2a soniga tеng bo¢lgan tеkislik nuqtalarining gеomеtrik o¢rniga aytiladi.
Bu 2a o¢zgarmas son fokuslar orasidagi 2c masofadan katta dеb olinadi.
Biz F₁ vа F₂ fokuslarni koordinatalar boshiga nisbatan simmеtrik qilib olamiz. Unda fokuslar F₂(-c;0) vа F₁(c;0) koordinatalarga ega bo¢ladi.Agar M(x;y) ellipsda yotgan ixtiyoriy nuqta bo¢lsa, unda ellips ta'rifiga asosan F₁М+F₂М yigindi uzgarmas son bo¢lishi kеrak, ya'ni
F₁М+F₂М=2а .
Giperbola deb, tekislikning barcha shunday nuqtalari to’plamiga aytiladiki, bu nuqtalarning har biridan shu tekislikning fokuslri deb ataluvchi berilgan ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ayirmalarining absolyut qiymatlari o’zgarmas bo’ladi (bu kattalik nolga teng bo’lmagan va fokuslari orasidagi masofalardan kichik bo’lgan shartda).
F₁ va F₂ fokuslar orasidgi masofani 2c orqali, giperbolaning har bir nuqtasidan fokuslargacha bo’lgan masofalar ayirmasining moduliga teng bo’lgan o’zgarmas miqdorni 2a orqali (0<2a<2c) belgilaymiz. Ellips holida bo’lgani kabi absissalar o’qini fokuslar orqali o’tkazamiz, F₁ F₂ kesmaning o’rtasini esa koordinatalar boshi deb qabul qilamiz.
Tekislikda fokusi deb ataluvchi berilgan F nuqtadan va direktrisasi deb ataluvchi berilgan DD to`g`ri chiziqdan teng masofada yotuvchi nuqtalar tuplamiga parabola deyiladi.
Abssissa o`qi F fokus nuqtadan DD direktrisaga perpendikulyar ravishda o`tuvchi, ordinata o`qi esa fokus va direktrisalarning o`rtasidan o`tuvchi koordinatalar sistemasi tanlasak, parabola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishni oladi
y² = 2 P x,
bu yerda, P – fokus va direktrisa orasidagi masofa.
Ushbu kurs ishi oliy matematika kursining muhim bo’limlaridan biri bo’lgan “Geometriya” fanining “Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamasi” mavzusiga bag’ishlangan. Giperbola va uning tenglamalari xossalari nafaqat geometriya kursida balki, matematik analiz , kompyuter tizimlari va kundalik turmushda ham muhim o’rin egallaydi.