Ildiz chegaralari shturm teoremmasi

Isboti. va umumiy haqiqiy ildizga ega bo’lmagani uchun shunday kichik oraliqni olish mumkinki, u oraliqda ning ildizi bo’lmaydi, ning esa bittagina ildizi bo’ladi.
ko’phadning karrali haqiqiy ildizlari bo’lmagani uchun qiymatdan o’tishda ko’phad o’z ishorasini o’zgartiradi. Bunda quyidagi faqat ikki hol yuz berishi mumkin: oraliqda hosila yo manfiy, yoki musbatdir. Masalan, deylik. Bu olingan oraliqda ko’phadning o’sishini ko’rsatadi. Demak, manfiy qiymatlardan musbat qiymatlarga o’tadi.
Aytilgan oraliq bilan chegaralanib, ishoralarning ushbu jadvalini tuzamiz:

			Ishora almashishlar soni
	–	+	1ta
	+	+	0ta

Demak, va orasida avval bitta ishora almashinish mavjud bo’lsa, ildizdan o’tgandan keyin u almashinish yo’qoladi.

holda ham xuddi shunday natijaga kelamiz (faqat bu vaqtda ko’phad kamayuvchi bo’ladi).
Shturm teoremasi (Ko'phad haqiqiy ildizlari soni haqidagi tеorеma).


ko’phad karrali ildizlarga ega bo’lmasin va haqiqiy sonlar ning ildizlari bo’lmasin. U holda ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi.
Isboti. Haqiqatan ham, o’sa borib Shturm qatoridagi oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa ham, yoki o’tmasa ham bu qatordagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi (3-xossaga asosan).
Agar o’sa borib, ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, va orasida, va demak, butun Shturm qatorida bitta ishora almashinish yo’qoladi(4-xossaga muvofiq).
Shunday qilib, ni dan gacha o’zgartirganda Shturm qatorida nechta ishora almashinish yo’qolsa, ko’phadning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi. oraliqning biror chegarasida ba’zi oraliq ko’phadlar nolga teng bo’lib qolsa, Shturm qatoridagi ishora almashinishlar sonini hisoblashda bunday nolga teng ko’phadlarni e’tiborga olmaslik mumkin. Haqiqatan, qiymatda desak, va sonlar qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi. Shu sababli ning ishorasini qanday deb hisoblamaylik, sonlar bitta ishora almashinishni tashkil etadi.
Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish masalasini ko`raylik.Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini ko`ramiz.Bu masalalarga bir muncha sodda bo`lgan Shturm metodini qo`llab javob beramiz.Noldan farqli bo`lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan
1, 3, -2, -5, 6, 1, 3, -1, -1, 4, 1 (1)
berilgan bo`lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik:
+ , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2)
Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini, ketma-ket turganini ko`ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta ishora o`zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim topish mumkin. Haqiqiy koeffisientli f(x) ko`phad berilgan bo`lsin va u karrali ildizga ega emas deb faraz qilaylik.
Agar f(x) ko`phad karrali ildizlarga ega bo`lsa, u holda uni o`zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo`luvchisiga bo`lib yuborib har doin karrali ildizga ega bo`lmagan ko`phadni hosil qilishimiz mumkin.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko`phadlarning tartiblangan chekli sistemasi
f(x)= f₀(x) , f₁(x) , f₂(x),...., f_s(x) (3)
f(x) ko`phadning Shturm sistemasi deyiladi.
1). (3) sistemaning qo`shni ko`phadlari umumiy ildizga ega emas.
2).Oxirgi f<sub>s</sub>(x) ko`phad haqiqiy ildizga ega emas.
3). Agar  son (3) sistemaning oraliq ko`phadlaridan biri bo`lgan f_k(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa,( 1 k  s-1) u holda f_k-1() va f_k+1() qarama-qarshi ishoraga ega bo`ladilar.
4). Agar  son f(x) ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa, u holda x o`sa borib  dan o`tganda f(x)f<sub>1</sub>(x) ko`paytma o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi.
f(x) ko`phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik.(Ixtiyoriy ko`phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko`ramiz) .
Agar c haqiqiy son berilgan f(x) ko`phadning haqiqiy ildizlaridan ibrat bo`lmasa, u holda haqiqiy sonlarning
f(c ) , f<sub>1</sub>(c ), f<sub>2</sub>( c ),....,f<sub>s</sub>( c)
sistemasini olamiz, undan barcha nolga tenglarini o`chiramiz va W( c) orqali qolgan sistemaning ishora o`zgarishlar sonini belgilaylik.
Ta`rif.W( c) ni f(x) ko`phadning (3) Shturm sistemasida x = c bo`lgandagi ishora o`zgarishlar soni deyiladi.
Teorema.(Shturm teoremasi) Agar a va b (a < b) haqiqiy sonlar karrali ildizi bo`lmagan f(x) ko`phadning ildizlari bo`lmasa, u holda W(a)  W(b) bo`ladi va W(a)-W(b) ayirma f(x) ko`phadning a va b orasida joylashgan haqiqiy ildizlari soniga teng bo`ladi.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun x o`sishi bilan W(x) son qanday o`zgarishini kuzatush etarli. x o`sa borib o`z yo`lida (3) Shturm sistemasining birorta ham ko`phadining ildizlarini uchratmasa, bu sistema ko`phadlarining ishoralari o`zgarmaydi, demak W(x) ham o`zgarmay qoladi.Shu sababli Shturm sistema ta`rifidagi 2) shartga asosan faqat ikkita holni ko`rish kifoya: x birorta oraliq f_k(x) ,( 1 k  s-1) ko`phadning ildizlaridan o`tishi va x ning f(x) ko`phadning o`zining ildizidan o`tishi.
 son f<sub>k</sub>(x), 1 k  s-1 ko`phadning ildizi bo`lsin. U holda 1) shartga ko`ra,
f_k-1() va f_k+1() lar noldan farqli. Demak, shunday  musbat kichik son topish mumkinki, (- , +) oraliqda f_k-1(x) va f_k+1(x) ko`phadlar ildizga ega emas va demak ular ushbu oraliqda ishora saqlaydi.Bundan tashqari 3) asosan bu shoralar qarama-qarshidir. Bundan esa, ushbu
f<sub>k-1</sub>(-) , f<sub>k</sub>(-) , f<sub>k+1</sub>(-) (4)
va
f<sub>k-1</sub>(+) , f<sub>k</sub>(+) , f<sub>k+1</sub>(+) (5)
sonlar sistemalarining har biri f<sub>k</sub>(-) va f<sub>k</sub>(+) sonlar qanday ishoraga ega bo`lishdan qat`iy nazar faqat bittagina ishora o`zgarishiga ega bo`ladilar.
Masalan, agar f<sub>k-1</sub>(x) ushbu qaralayotgan oraliqda manfiy bo`lsa, f_k+1(x) esa musbat bo`lsa hamda f<sub>k</sub>(-) > 0 , f<sub>k</sub>(+) < 0 bo`lsa, u holda (4) va (5) sistemalarga ushbu
- , + , + ; - , - , +
ishoralar sistemasi mos keladi. Demak, x Shturm sistemasidagi birorta oraliq ko`phadining ildizidan o`tganda bu sistemaning ishora o`zgarishi faqat joyini o`zgartiradi (ya`ni suriladi), yangidan paydo bo`lmaydi va yuqolib ham ketmaydi, shu sababli W(x) son o`zgarmay qoladi.
Endi  f(x) ko`phadning o`zining ildizi bo`lsin. 1) ko`ra  f<sub>1</sub>(x) uchun ildizbo`lmaydi. Shu sababli shunday  son topiladiki (-  ,  +  ) oraliqda f₁(x) ildizga ega bo`lmaydiba shu sababli f<sub>1</sub>(x) bu oraliqda ishora saqlaydi. Agar bu ishora musbat bo`lsa, u holda x 4) shartga ko`ra  dan o`tganda f(x) o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi, ya`ni
f(-) < 0 , f(+ ) > 0
Demak,
f(-), f₁(-) va f(+ ) , f₁(+) (6)
sonlar sistemasiga
- , + va + , +
ishoralar sistemalari mos keladi, boshqacha qilib aytganda Shturm sistemasida bitta ishora o`zgarishi yo`qoladi. Agar f₁(x) ning (-  ,  +  ) oraliqdagi ishorasi manfiy bo`lsa, yana 4) ga ko`ra x  dan o`tganda f(x) ko`phad o`z ishorasini musbatdan manfiyga o`zgartiradi, ya`ni f(-) > 0 , f(+ ) < 0 , (6) sonlar sistemasiga endi
+ , - va - , -
ishoralar sistemalari mos keladi, ya`ni Shturm sistemasida yana bitta ishora o`zgarishi yo`qoladi. Demak,W(x) son x o`sa borib f(x) ko`phad ildizlaridan o`tgandagina o`zgaradi, shu bilan birga bu holda u roppa -rosa bitytaga kamayadi.
Teorema isbotlandi.
Tasdiq.Karrali ildizga ega bo`lmagan, haqiqiy koeffisientli har qanday f(x) ko`phad Shturm sistemasiga ega bo`ladi.
Isboti.Quyidagi usul bilan Shturm sistemasini tuzaylik.
f₁(x) = f¹(x) deb olaylik. Shturm sistemasi ta`rifidagi 4) shartni bajarilishini ko`rsataylik. Agar  son f(x) ko`phadning ildizi bo`lsa, u holda f¹()0 bo`ladi va demak f<sup>1</sup>() > 0 bo`lsa, u holda  nuqta atrofida f¹(x) > 0 va shu sababli f(x) x ni qiymati  dan o`tganda ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi va demak f₁(x)f(x) ko`paytma ham o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. Agar f<sup>1</sup>() < 0 bo`lsa, u holda  nuqta atrofida f¹(x) < 0 bo`ladi va f(x) х ni qiymati  dan o`tganida ishorasini musbatdan manfiyga o`zgartiradi va demak f<sub>1</sub>(x)f(x) ham o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi.
So`ngra f(x) ni f₁(x) ga bo`lamiz va bu bo`lishdan chiqqan qoldiqni teskari ishora bilan olib, f₂(x) deb olamiz:
f(x) = f₁(x)q₁(x)+r₁(x)
f₂(x) = -r₁(x)
f₃(x) deb esa quyidagi ko`phadni olamiz:
f<sub>1</sub>(x)= f<sub>2</sub>(x)q<sub>2</sub>(x)+r<sub>2</sub>(x)
f<sub>3</sub>(x)= - r<sub>2</sub>(x)
va hokazo. f<sub>k-1</sub>(x) va f<sub>k</sub>(x) lar topilgan bo`lsin, u holda f_k+1(x) quyidagicha topamiz:
f_k-1(x) = f_k(x)q_k(x)+r_k(x)
f_k+1(x)= -r_k(x) (5)
Bu prosess f(x) va f¹(x) ko`phadlarning eng katta umumiy bo`luvchisi bo`lgan birorta f<sub>s</sub>(x) da to`xtaydi. Olishimizga ko`ra f(x) va f<sup>1</sup>(x) ko`phadlar o`zaro tub bo`lgani uchun f_s(x) birorta nolinchi darajali ko`phad bo`ladi.
Biz tuzgan
f(x)= f₀(x) ,f¹(x)= f₁(x) , f₂(x),...., f_s(x)
ko`phadlar sistemasi Shturm sistemasining ta`rifidagi 2) shartni bajarishini, ya`ni f<sub>s</sub>(x) haqiqiy ildizga ega emasligini va 1) shartni bajarilishini ko`rsataylik: faraz qilaylik f_k(x) va f_k+1(x) umumiy  ildizga ega bo`lsin. U holda (5) ga asosan, 
f<sub>k-1</sub>(x) uchun ham ildiz bo`ladi va hakazo f_k-2(x),f_k-3(x) ,...f₁(x),f₀(x) lar uchun ham ildiz bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) va f<sup>1</sup>(x) ni o`zaro tub ekanligiga ya`ni f(x) ni karrali ildizga ega emasligiga ziddir.
3). shartni bajarilishi (5) dan kelib chiqadi. Agar f<sub>k</sub>() = 0 bo`lsa, u holda f_k-1() = - f_k+1() bo`ladi.
Tasdiq isbotlandi.
XULOSA

Shturm sistemasining ta`rifi o`rganishda shartlar va teoremalar haqida tushuncha ustida amaliy ish va teoremalarni isboti o`rganilib chiqildi.

Shturm sistema ta`rifidagi 2) shartga asosan faqat ikkita holni ko`rish kifoya: x birorta oraliq f_k(x) ,( 1 k  s-1) ko`phadning ildizlaridan o`tishi va x ning f(x) ko`phadning o`zining ildizidan o`tishi.  son f<sub>k</sub>(x), 1 k  s-1 ko`phadning ildizi bo`lsin.
U holda 1) shartga ko`ra, f_k-1() va f_k+1() lar noldan farqli. Demak, shunday  musbat kichik son topish mumkinki, (- , +) oraliqda f_k-1(x) va f_k+1(x) ko`phadlar ildizga ega emas va demak ular ushbu oraliqda ishora saqlaydi.Bundan tashqari 3) asosan bu shoralar qarama-qarshidir.