Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

4. Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalari.
Differensial tenglamalar nazariyasida quyidagi masalalar asosiy masalalar hisoblanadi:
1) Differensial tenglama echimining mavjudligi va yagonaligi. Differensial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligini ifodalovchi teoremalar mavjud. Bunday teoremalarda tenglama yechimining mavjud va yagona bo’lishining yetarli shartlari keltirilgan. Mavjudlik teoremalari differensial tenglamalarga oid maxsus adabiyotlarda isbotlangan;
2) Differensial tenglamalarni yechish. Differensial tenglamalarni yechish (yechimini topish usullarini aniqlash eng muhim ), yechish masalalardandir. Ko’pgina tenglamalar (hatto ularning yechimi mavjudligi ma’lum bo’lsa ham) yechilavermaydi. Keyingi paragraflarda yechiladigan tenglamalar qaraladi va ularni yechish usullari bayon etiladi;
3) Differensial tenglamalarining tatbiqlari. Differensial tenglamalarning tatbiq doirasi juda keng. Fan va texnikaning turli sohalaridagi (geometriya, fizika, mexanika, texnika, tabiatshunoslik va h.k) masalalar differensial tenglamalar yordamida hal etiladi.

Ma’lumki, birinchi tartibli differensial tenglama umumiy ko’rinishda quyidagicha

Φ(x, y, y’ ) = 0
ifodalanadi. Bunda, x–erkli o’zgaruvchi (funksiya argumenti) y = y(x)
noma’lum funksiya, y 0 esa noma’lum funksiyaning hosilasi. Bu tenglamani y’ ga nisbatan yechilgan holi bo’lgan
y’ = f(x, y) ( = f(x, y))(1)
tenglamani o’rganamiz. Odatda, (1) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deb ham yuritiladi. (1) tenglama uchun tenglamaning yechimi (umumiy va xususiy yechimlari), boshlang’ich shart, Koshi masalalari tushunchalari 1–§da keltirilgan tushunchalar kabi kiritiladi.

1. 
   Differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi.
   

Ushbu
y’ = f(x, y)
differensial tenglamani qaraylik. Ravshanki, bu tenglama yechimining mavjudligi va uning yechimi f(x, y) funksiyaga bog’liq. Aytaylik, funksiya tekislikdagi yopiq to’g’ri to’rtburchak
D = {(x, y) : x₀ − a ≤ x ≤ x₀ + a, y₀ − b ≤ y ≤ y₀ + b}
da berilgan bo’lsin, bunda a va b lar musbat sonlar.
Teorema. Agar f(x, y) funksiya D da uzluksiz bo’lib, uzluksiz f’_y (x, y) xususiy hosilaga ega bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama boshlang’ich shart
x = x₀, y = y₀
ni qanoatlantiruvchi yechimga ega va u yagona bo’ladi.