Инaтов Омонжон Олимжон угли, Шойдинов Хaйитмурод Хaмдaм угли

Постановка задачи. Пусть в начальный момент времени в плоскости симметрии, выделилась энергия . В последующие моменты времени тепло начинает распространяться во все стороны от точки . Так как дополни­тельные источники или стоки тепла отсутствуют, то полная энергия должна сох-раняться постоянной в любой момент времени т. е. должны выполняться следующие соотношения:
(3)
В силу симметрии имеем,что
(4)
Будем считать, что в момент времени среда явля­ется холодной, т. е. Выпол-
няется условие
(5)
Решение задачи (2)—(5) является автомодельным. Действительно считая и введя безразмерные величины
, , , где ,
Получим следующую систему дифференциальных уравнений.


(6)


Решение. Условие постоянства полной энергии даст следующее равенство
(7)
Из условия симметрии получим, что . Начальное условие (5) даст краевые условия для функций и при . Физический смысл будут иметь те ре­шения системы (6), для которых в граничной точке одновременно с температурой f = f(s) будет обращаться в нуль и безразмерная функция потока тепла . Поэтому при система уравнений (6) должна удовлетворять , .
Теперь интегрируя первое уравнение системы (6) получим, что . Из условия симметрии получим, что . Подставляю выражение во второе уравнение системы (6) получим следующее дифференциальное уравнение для функции :

При условии разделяя на имеем следующее дифференциальное уравнение для функции :
. (8)
Решая это уравнение, получим следующее выражение для
. (9)
Из условия (7) получим равенство для нахождения постоянной :

В этом интеграле делая замену переменной приведем к следу-ющему виду
.
Этот интеграл является табличным интегралом вида:
, где - гамма –функция.
В нашем случае , , , . Используя условие (7) получим, что
.
Отсюда найдем формулу вычисления для постоянной :
.
Известно, что при функции и обращаются в нуль не при , а существует конечное значение при котором функции и обращаются в нуль. Этот факт является следствием того, что при функ-ции и стремятся к нулю по экспоненциальному закону. Автомо­дельные решения обладают тем свойством, что с течением време­ни профиль температуры, сохраняя свою форму, растягивается по оси абсцисс (по закону ) и сжимается по оси ординат по за­кону . Именно поэтому полная энергия остается постоянной во времени. При и тепловое возмущение в любой фиксиро­ванный момент времени t > 0 представляет собой волну конечной протяженности.
В нашем случае функции и стремятся к нулю по полиномиальному закону. Поэтому краевые условия , выполняется лишь при . При , тепловое возмущение мгновенно распространяется до бесконечности по пространству.
Теперь рассмотрим конкретный случай . Тогда , , , . Вычисляя значения гамма-функции с помощью программы Maple-11 получим что
, ,

Отсюда находим следующее значение постоянной :

И подставляя значение в (9 )находим функции и
,

На рисунке -1 изображены графики температурной функция и функции потока тепла