Интегральная формула Коши

Реферат на тему:

Интегральная формула Коши

План:

• 
  1 Формулировка
  
• 
  2 Доказательство
  
• 
  3 Следствия
  
  • 
    3.1 Аналитичность голоморфных функций
    
  • 
    3.2 Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях
    
  • 
    3.3 Теоремы о среднем для голоморфных функций
    
  • 
    3.4 Теоремы о единственности
    
  
  Литература
  

1. Формулировка

Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция f(z) — голоморфна в и z₀ — точка внутри области D. Тогда справедлива следующая формула Коши:

Формула справедлива также, если предполагать, что f(z) голоморфна внутри D, и непрерывна на замыкании, а также если граница D не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

2. Доказательство

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что не зависимо от ρ имеем равенство:

Для расчёта интегралов по S_ρ применим параметризацию .
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая f(z) = 1:

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

Так как функция f(z) комплексно дифференцируема в точке z₀, то:

Интеграл от равен нулю:

Интеграл от члена o(1) может быть сделан сколь угодно мал при . Но поскольку он от ρ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что