Интеллектуальные информационные системы

Свойства нечетких множеств

• Высотой нечеткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности:

• Для дискретного универсального множества супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов

• Высота нечеткого множества

Нормальное нечеткое множество

• Нечеткое множество называется нормальным, если его высота равна единице. Нечеткие множества не являющиеся нормальными называются субнормальными.
• Нормализация ‑ преобразование субнормального нечеткого множества в нормальное определяется так:

• Пример: нормализация нечеткого множества с функцией принадлежности

Носитель нечеткого множества

• Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности:

• Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

• Пустое нечеткое множество

Ядро нечеткого множества

• Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице:

• -сечением (или множеством -уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества u, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные :

Значение  называют  -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном)  -уровне.

• Значение  называют  -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном)  -уровне.

• Нечеткое множество называется выпуклым если:

• нечеткое множество будет выпуклым, если все его  -сечения - выпуклые множества.

• Равенство нечетких множеств

• Нечеткие множества А и В равны если

• Примеры выпуклого и невыпуклого нечеткого множества

• 1. Пересечение: AB- наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B
• аb(x)= min (a(x),b(x))
• 2. Объединение: AB- наименьшее нечеткое подмножество, включающее, как A так и B с функцией принадлежности
• аb(x)= max (a(x),b(x))
• Разность
• A-B=A∩(не В): µa-b(x)=min(µa(x),1-µb(x))

• Операции над НМ в максминном базисе

• Пусть А = 0,4/x1+0,2/x2+0/x3+1/x4
• B = 0,7/x1+0,9/x2+0,1/x3+1/x4
• Видно, что A  B
• А ≠ В
• Ā = 0,6/x1 + 0,8/x2+1/x3+0/x4
• AB = 0,4/x1+0,2/x2+0/x3+1/x4
• AB = 0,7/x1+0,9/x2+0,1/x3+1/x4
• A-B = 0,3/x1+0,1/x2+0/x3+0/x4

• Примеры

• Дополнением нечётких множеств A и B называется множество
• функция принадлежности элементов к которому определяется как

Функции принадлежности

Аналитическое выражение

Аналитическое выражение

Функции принадлежности

Аналитическое представление

Аналитическое представление

Функции принадлежности

Аналитическое представление

Аналитическое представление

Сигмоидальная функция