Introduction to Functional Equations

Evan Chen《陳誼廷》 — 18 October 2016
Introduction to Functional Equations
Example 5.2 (Singapore 1999)
Solve over R:
(x − y)f (x + y) − (x + y)f (x − y) = 4xy(x
2
− y
2
).
Solution. First, the x − y and x + y everywhere are a mess, so we replace them with
a = x + y
and b = x − y (this doesn’t lose any information). Then x
2
− y
2
= ab
, and also
2x = a + b
, 2y = a − b. So, the equation is just saying that
bf (a) − af (b) = ab(a
2
− b
2
).
This looks much less terrible to work with.
We begin our siege properly now. First, we might try to probe the solutions, as before.
In this case we observe there are no linear or constant solutions.
Exercise 5.3.
Find a nonzero function that does work.
We should keep this in our minds as we proceed.
2
One other remark worth making
is that the left-hand side is in fact zero for f(x) ≡ cx, which leads to an observation
that if f is a solution, then so is f + 2016x, say. This tells us a bit more about what the
solution space might look like.
Plugging in a = b = 0, then we get 0 = 0, not helpful. Plugging in just one zero term
a = 0
is more fruitful: we derive bf(0) = 0, so f(0) = 0.
Next, assume a, b 6= 0. We do the following nice trick: if we divide by ab, we obtain
f (a)
a
−
f (b)
b
= a
2
− b
2
.
You’ll notice that the a and b terms are completely isolated now! That is, we can write
f (a)
a
− a
2
=
f (b)
b
− b
2
.
This is enough to imply that
f (a)
a
− a
2
= c
for some constant c, whenever a 6= 0; hence
f (x) = x
3
+ cx
for some c. Initially we only know this for x 6= 0, but it holds for x = 0
as well since f(0) = 0.
And now, we observe that these solutions all work, and we’re done.