Ipak yo‘li innovatsiyalar univetsiteti 2022-2023-o‘quv yili uchun

1. Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari.


Ta’rif. Agar _n=0 bo’lsa, u holda ( _n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Agar x_n =a bo’lsa, u holda _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Haqiqatan, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan har bir >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ lar uchun | _n|=|x_n-a|< tengsizlik o’rinli.
Aksincha, agar _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’lsa, u holda x_n=a bo’ladi.
Demak, a son (x_n) ketma-ketlikning limiti bo’lishi uchun uni x=a+ _n ko’rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda _n cheksiz kichik miqdor.
1-lemma.Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi (ko’paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
Isbot. _n va _n lar cheksiz kichik bo’lsa, u holda _n= _n + _n ni cheksiz kichik bo’lishini ko’rsatamiz. _n =0 dan har bir >0 uchun n₁ nomer topilib, n>n₁ lar uchun | _n|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shu kabi n₂ nomer topilib, n>n₂ lar uchun | _n |< tengsizlik o’rinli bo’ladi. n₀=max(n₁,n₂) deb olsak, n>n₀ lar uchun | _n|< va | _n |< tengsizliklarning har biri o’rinli bo’ladi. Bundan | _n |<| _n+ _n | | _n |+| _n | < = tengsizlik kelib chiqadi. Demak, _n -cheksiz kichik miqdor.
_n va _n lar ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’lishi huddi shunday isbotlanadi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.(isbotlang)
Misol.x_n = sin n² chegaralangan miqdor, _n = cheksiz kichik miqdor, lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor bo’ladi, ya’ni =0.