Iqtisodiy masalalarni simpleks usulda yechish

Iqtisodiy masalalarni simpleks usulda yechish

Reja:

1.1. Matematik programmalashtirish fanining predmeti

1.2. Boshqarishni rejalashtirishda iqtisodiy matematik usullar.

1.3. Eng sodda iqtisodiy masalalarning matematik modellari.

Tayanch so'z va iboralar: model; modellashtirish; usul; iktisodiy jarayon; matematik programmalashtirish; chiziqli programmalashritish; optimal echim; maqsad funksiya; optimallik mezoni; chiziqli tenglama; chiziqli tengsizlik.

1.1. Matematik programmalashtirish fanining predmeti Modellarning son qiymatlarini topish bilan matematikaning asosiy bo'limlaridan biri matematik programmalashtirish bo'limi shug'ullanadi. Qurilishni boshqarish jarayonini shartli ravishda uchta funksional qismlarga: ma'lumotlarni yig'ish, tahlil qilish va echimni qabul qilishlarga ajratish mumkin. Ma'lumki, davlat korxonalari, firmalarni boshqarishda ishlab chiqarish rejalarini tuzishning juda ko'p variantlari bo'lib, matematik programmalashtirish usullari yordamida mavjud ko'p variantli echimlardan, oldindan qo'yilgan shartlar bajarilgan taqdirda optimal variantini (echimlarini) aniqlash mumkin. Boshqarish jarayonida matematik programmalashtirishning iqtisodiy-matematik usullari hamda zamonaviy kompiyuterlarning tadbiqlari – qurilish sohasida mavjud resurslardan oqilona foydalanish, ishlab chiqarishni to'g'ri tashkil etishning eng samarali vositalarini topish, sarflanadigan harajatlarni kamaytirish, mavjud ichki rezervlarni qidirib topish kabi ko'pgina masalalarini hal etishda muhim omil bo'lib hisoblanadi. Matematik programmalashtirish - chiziqli, kasr chiziqli, kvadrat, butun sonli, chiziqsiz, stoxastik, dinamik kabi programmalashtirish masalalariga bo'linadi.

1.2. Boshqarishni rejalashtirishda iqtisodiy matematik usullar Iqtisodiy–matematik usullar va zamonaviy kompiyuterlar yordamida o'tkazilgan ilmiy izlanishlar bozor munosabatlari shakllarini takomillashtirish va ishlab chiqarishni iqtisodiy jihatdan rag'batlantirishga shuningdek xalq xo'jaligining barcha tarmoqlarini, jumladan qurilishda ishlab-chiqarish samaradorligini oshirishga, mavjud xom-ashyo va mehnat resurslaridan oqilona foydalanish natijasida eng yuqori ko'rsatkichlarga erishishga qaratilgandir. Mana shunday optimal rejalashtirish va boshqarish masalalarini maqbuliy echimlari faqat matematik programma- lashtirishning vujudga kelishi va uning taraqqiy etishi natijasidagina erishiladi. Optimal rejalashtirish va boshqarishda asosiy masala echimning eng yaxshi variantini tanlab olishdan iboratdir. Matematik izlanishlar natijasida matematik programmalashtirishning optimal usullari vujudga keldi. Bu usullar yordamida xalq xo'jaligining barcha tarmoqlari, jumladan qurilishni boshqarishning optimal echimi aniqlanadi va boshqariladi. Bunday masalalarning muqobil echimlari chiziqli programmalashtirish usullari bilan aniqlanadi. Agar matematik modelda masalaning echimiga ta'sir etuvchi barcha omillar to'liq hisobga olingan bo'lsa, u holda ushbu omillar iqtisodiy masalaning optimal echimi bo'lib hamisha tenglamalar va tengsizliklar sistemasini qanoatlantiradi. Shuning uchun ham iqtisodiy jarayonlarni modellashtirishda shartlarni to'g'ri tanlash muhim ahamiyatga ega va u masalani echishda asosiy vosita bo'lib hisoblanadi. Iqtisodiy jarayonlarni modellashtirish (chiziqli programma-lashtirish usullariga o'tishda) tenglamalar va tengsizliklar sistemasini tuzishdan iborat. Unda rejalashtirilayotgan ob'ektda izlanayotgan miqdorlar o'zgaruvchi miqdorlar vazifasini bajaradi. Chiziqli tenglama va tengsizliklarda noma'lum miqdorni xj o'zgaruvchi bilan belgilaymiz. Sistemaning o'zgarmas koeffisient larini, ya'ni ozod hadlarini bi noma'lumlar oldidagi koeffisientlarni esa aij bilan belgilaymiz (bunda i = 1,m; j = 1,n ).

Ushbu masalani echish jarayonida quyidagi shartlarga amal qilish lozim. Butun iqtisodiy, texnikaviy, ijtimoiy va boshqa shartlarni chiziqli tenglamalar va tengsizliklar ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsin. Masalaning hamma shartlarini aks ettiruvchi chiziqli tenglamalar va tengsizliklar sistemasi alternativ (ko'p variantli) echimga ega bo'lsin. Hamma chiziqli tenglamalar va tengsizliklar sistemasi yagona maqsadli funksiyasiga ega bo'lsin. Ushbu shartlar juda ko'plab iqtisodiy muammolarni hal qilish uchun qanoatlantiruvchi shartlardir. Iqtisodiy hodisalarini matematik modelini tuzish jarayonida chiziqli tenglamalar va tengsizliklar uch xil tur ko'rinishida uchraydi.

Birinchi tur: ... ( 1, ) ai1 x1 + ai2 x2 + + aim xn ≤ bi i = n : bi – o'zgar-mas son. Bunda noma'lumlarning koeffisientlarga ko'payt-masining yig'indisi o'zgarmas sondan kichik yoki unga teng. Ikkinchi tur: ... ( 1, ) ai1 x1 + ai2 x2 + + aim xn ≥ bi i = n . Bunda noma'lumlarning koeffisientlarga ko'paytmasining yig'in-disi o'zgarmas songa teng yoki undan katta. Uchinchi tur: ... ( 1, ) ai1 x1 + ai2 x2 + + aim xn = bi i = n . Bunda noma'lumlarning koeffisientlarga ko'paytmasining yig'in-disi o'zgarmas songa teng.

Agar x , x ,..., x 1 2 n – larni qurilishda ishlatiladigan xom - ashyolar miqdori deb qaralsa, p , p , ..., p 1 2 n lar mos ravishda shu xom - ashyolarning bahosi bo'lsa, hosil qilingan yangi qurilish mahsulotining bahosi Z(X) bilan belgilansa, u holda maqsad funksiya, eng katta yoki eng kichik qiymatga ega bo'lish uchun quyidagi tenglama o'rinli bo'ladi: Z(X) p x p x ... p x max (min) = 1 1 + 2 2 + + n n → yoki ∑= ⋅ → n j 1 j j Z (X) = p x max (min). Yuqoridagi belgilashlarga asosan chiziqli programmalash -tirishning umumiy masalasi quyidagicha ifodalanadi:        + + + = + + + = + + + = ... . . . . . . . . . . . . . ... ... 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b (1) (1) - tenglamalar sistemasining shunday musbat echimlarini topish kerakki, natijada 1 1 2 2 n n Z = p x + p x + ... + p x (2) chiziqli funksiya eng katta (maksimum) yoki eng kichik (minimum) qiymatga ega bo'lsin. (2) - chiziqli funksiyani ∑= ⋅ n j 1 j j Z (X) = p x ko'rinishida ham yozish mumkin bo'lib, chiziqli funksiyaning maksimum yoki minimum qiymatlari quyidagi shartlar o'rinli bo'lganda topilsin. 1.3. Eng sodda iqtisodiy masalalarning matematik modellari 1. Xom - ashyodan foydalanish masalasi. Biror korxona uch xil, A, V, S, mahsulot ishlab chiqarish uchun besh xil, A1, A2, A3, A4, A5 xom- ashyodan foydalanadigan bo'lsin. Xom - ashyo zaxiralari, mahsulot birligini tayyorlash uchun sarflangan xom - ashyo birligining miqdori va har qaysi mahsulot birligidan keladigan foydaning son qiymati quyidagi I – jadvalda keltirilgan bo'lsin. 1-jadval Agar A mahsulot birligining miqdorini , 1 x V mahsulot birligini , 2 x S mahsulot birligini esa 3 x bilan belgilab, mahsulot birligini tayyorlash uchun sarf bo'lgan xom - ashyo birligini va xom - ashyo zaxiralarini nazarda tutsak, quyidagi cheklanish tengsizliklarini (yoki shartlarini) hosil qilamiz, ya'ni          + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ≤ 8 4 5 100. 10 7 15 30, 7 9 13 90, 4 5 8 70, 3 6 50, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x (1) Bu tengsizliklar mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarf qilingan xom – ashyoning, berilgan xom - ashyo zaxiralaridan oshib ketmasligini ko'rsatadi. Agar A xildagi mahsulot ishlab chiqarilmasa x 0 1 = , aks holda 1 x > 0. V va S xildagi mahsulotlar uchun ham xuddi shunday munosabatlar o'rinlidir. Demak, hamma vaqt x 0 1 ≥ , x 0 2 ≥ , x3 ≥ 0 bo'lar ekan. A xildagi bir – birlik mahsulot 70 birlik foyda bergani uchun shu xildagi jami mahsulotdan keladigan foyda 70·x1 ga teng bo'ladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi va uchinchi xil mahsulotlardan 90·x2, 80·x3 foyda olinadi. Umumiy foyda esa 1 2 3 70·x1 90·x2 80·x3 Z = Z (x , x , x ) = + + (2) ko'rinishida bo'ladi va qo'yilgan masalaning maqsad funksiyasini ifodalaydi. Cheklanish shartlari (1) va maqsad funksiya (2) chiziqli bo'lganligi uchun (1)–(2) ifoda chiziqli programmalashtirish masalasining, ya'ni xom-ashyodan oqilona foydalanishning matematik modelini tashkil qiladi. Demak, masalani echish uchun (1) - sistemaning shunday manfiy bo'lmagan ( ) 1 3 1 2 1 1 x , x , x echimini topamizki, unda (2) - formula bilan aniqlanadigan Z – chiziqli funksiya eng katta qiymatga erishadi, ya'ni umumiy foyda eng katta bo'ladi. Endi umumiy holda xom - ashyodan foydalanish masalasini quyidagicha bayon qilish mumkin. Aytaylik, korxona n xil B (j 1,n) j = turdagi mahsulotni tayyorlash uchun, m xil A (j 1,m) i = xom - ashyodan foydalanadigan bo'lsin. Xom - ashyo zaxiralarini bi bilan ; j – xildagi bir-birlik mahsulotni tayyorlash uchun, i turdagi xom - ashyo birligidan qancha miqdorda sarf qilinganligini aij bilan; j –xildagi mahsulot birligini sotishdan olinadigan foydani j c bilan va j − xildagi mahsulot birligining miqdorini j x bilan belgilasak, qo'yilgan masalaning matematik modeli quyidagicha buladi: ∑= n j 1 j j Z = c · x (max) (3) i n j ∑a b = ≤ 1 ij j x , (i = 1,m), (4) x j ≥ 0 , ( j = 1,n) (4’) Qo'yilgan maqsaddan ko'rinib turibdiki, maqsad funksiya (3) ni maksimallashtiradigan xj ≥ 0 larni topish uchun chiziqli tengsizliklar sistemasi (4) ning manfiy bo'lmagan echimlarini topishdan iboratdir.. Tengsizliklar sistemasini echish, tenglamalar sistemasini echishga qaraganda murakkab bo'lganligi uchun, ko'pincha tengsizliklar sistemasini unga teng kuchli bo'lgan tenglamalar sistemasi bilan almashtiriladi. Buning uchun tengsizliklar sistemasi (4) ning chap tomoniga, noma'lum va musbat bo'lgan x 0, ( 1, ) n+i ≥ i = m o'zgaruvchilarni qo'shib yozish kifoyadir: ∑= + + = n j n i bi a x x 1 ij j , (i = 1,m) (5). Hosil qilingan tenglamalar sistemasida noma'lumlar soni tenglamalar sistemasidagi tenglamalar sonidan ko'p. Noma'lumlar soni (n + m > n) bo'lgani uchun (5) sistema cheksiz ko'p echimlarga egadir. Bu echimlar to'plamidan shunday xj ≥ 0 larni tanlab olish kerakki, natijada maqsad funksiya (3) o'zining eng katta qiymatiga erishsin. Demak, umumiy holda (3); (4); (4’) xom – ashyodan oqilona foydalanish masalasining matematik modelini ifodalaydi. 2. Transport masalasi. Ma'lum miqdordagi yuklarni, ishlab chiqarish korxonalaridan iste'mol qiluvchi korxonalarga tashib borish uchun chiziqli programmalashtirishning transport masalasi modelidan foydalaniladi. Bunda transport vositalari uchun sarflanadigan xarajat, eng kam sarf qilgan holda iste'molchilarning talabini to'la qondirishdan iboratdir. A , (i =1,m) i mahsulot ishlab chiqarish korxonalari deylik. B , ( 1, ) j j = n shu mahsulotlarga bo'lgan iste'molchilar bo'lsin. Har bir A , (i =1,m) i korxonalarda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning miqdori a , (i 1,m) i = . Xuddi shuningdek B , (j 1, ) j = n iste'molchilarning mahsulotlarga bo'lgan talabi b ( 1, ) j − j = n – bo'lsin. Ai korxonalarda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning umumiy miqdori, Bj iste'molchilarning mahsulotlarga bo'lgan talabining umumiy miqdoriga teng bo'lsin deb faraz qilaylik. U holda 1 2 m 1 2 n a + a + ... + a = b + b + ... + b tenglik o'rinli bo'ladi. Ai ishlab chiqarish korxonasidan Bj iste'molchiga olib borilgan mahsulotning umumiy miqdorini xij bilan va Ai ishlab chiqarish korxonasidan Bj iste'molchiga bir - birlik mahsulotni tashib borish uchun sarf qilingan xarajatni cij bilan belgilaymiz. Soddalik uchun ushbu masalaning hamma berilgan ma'lumotlarini quyidagi jadvalda keltiramiz. Endi masalaning matematik modelini tuzish uchun, har bir ishlab chiqarish korxonasini, iste'molchilarga shunday mos qilib qo'yish kerakki, birinchidan har bir ishlab chiqarish korxonasidagi mahsulotlar to'la taqsimlansin. Ushbu shartni tenglamalar sistemasi orqali quyidagicha yozish mumkin.        + + + = + + + = + + + = m m mn m n n x x x a x x x a x x x a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (6) Ikkinchidan, har bir iste'molchining talabi to'lasincha qondirilsin. Bu shartlar quyidagicha yoziladi:        + + + = + + + = + + + = n n mn n m m x x x b x x x b x x x b .. . . . . . . . . . . . .. . .. 1 2 12 22 2 2 11 21 1 1 (7) Uchinchidan, mahsulotlarni tashish uchun sarf qilinadigan jami xarajat eng kam bo'lsin. Bu esa quyidagi chiziqli funksiya orqali ifodalanadi. ... c · x . c · x ... c · x ... c · x c · x Z c ·x c · x ... c · x c · x mn mn 22 22 2n 2n m1 m1 m2 m2 11 11 12 12 1n 1n 21 21 + + + + + + + + + = + + + + + (8) To'rtinchidan, masalaning iqtisodiy qo'yilishidan echimlarning manfiy bo'lmaslik shartini qanoatlantirishi lozim: x 0 (i 1,m; j 1,n) ij ≥ = = . (9) Yuqoridagi (6) – (9) munosabatlarni quyidagicha ham yozish mumkin: ( ) ( ) ( )           ≥ = = = = = = ∑ ∑ = = x i m j n x b j n x a i m ij m i ij j n j ij i 0, 1, ; 1, , 1, , 1, 1 1 (10) va ∑ ∑= = = m i n j Z 1 1 ij ij c · x , (i =1,m ; j =1,n). (11) Shunday qilib (10)–(11) birgalikda transport masalasining matematik modeli deb ataladi. Demak, (10) shartni qanoatlantiruvchi shunday xij ≥ 0 echimlarni topishi kerakki, natijada (11) maqsad funksiya eng kichik qiymatga erishsin. Agar ishlab chiqarilgan mahsulotlarning umumiy miqdori, ularga bo'lgan talabning umumiy miqdoriga teng bo'lsa, ya'ni 0, 1 1 ∑ = ∑ = > = = a b M m i n j i j (12) u holda bu masalani yopiq modelli, aks holda ochiq modelli transport masalasi deb ataymiz. Misol. A1, A2, A3 va A4 omborlarda mos ravishda 100t., 250t., 500t., va 150t., sement saqlanadi. Ushbu omborlardagi sementni V1, V2, V3, V4 va V5 qurilish inshootlariga ularning talabiga ko'ra mos ravishda 300t., 350t., 100t., 170t., va 80t., miqdorlarda etkazib berish kerak bo'lsin. A1 ombordan 1t sementni V1, V2, V3, V4 va V5 qurilish inshootlariga etkazib berish uchun sarf qilinadigan transport xarajatlari mos ravishda (1;4;6;2; va 3) so'mni, A2 ombordan (4; 5; 3; 7; va 6) so'mni tashkil qilsa, va hokazo tashishda sarf qilingan umumiy transport xarajati eng kam bo'ladigan echim topilsin. Ushbu transport masalasining matematik modelini tuzamiz. Echish. A , (i 1,4) i = omborlardan B , (j 1,5) j = qurilish inshoot-lariga etkazib beriladigan sementning miqdorini xij; Ai omborlarda saqlanayotgan sement miqdorini ( ) ai a T a T a T a 150T , 100 , 250 , 500 , 1 = 2 = 3 = 4 = , Bj – qurilish inshootlarining sementga bo'lgan talabini bj , (bunda b = 300 b = 350 , b =100 , b =170 , b = 80 ) 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T bilan belgi-lasak, u holda omborlardagi sementning to'la taqsimlanish shartini        + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = 150. 500, 250, 100, 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 11 12 13 14 15 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (13) ko'rinishda va qurilish inshootlarining sementga bo'lgan talabini to'la qondirish shartini          + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = 80. 170, 100, 350, 300, 15 25 35 45 14 24 34 44 13 23 33 43 12 22 32 42 11 21 31 41 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (14) ko'rinishda yozish mumkin. A , (i 1,4) i = ombordan B , (j 1,5) j = qurilish inshootlariga 1 t sementni etkazib berish uchun sarf qilingan transport xarajatini s (i = 1,4; j = 1,5) ij bilan belgilasak, sementni tashish uchun sarf qilinadigan jami xarajatning miqdorini aniqlaydigan chiziqli funksiya quyidagicha bo'ladi: va x 0 (i 1,4 ; j = 1,5 ). 3 x + 2 x + 6 x + 4 x + 2 x + x + 4·x + 7 x + 6 x , Z = x + 4 x + 6 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 3 x + 7 x + 6 x + x + 32 33 34 35 41 42 43 44 45 11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 ≥ = + i j (15) Iqtisodiy nuqtai nazardan transport masalasining optimal echimlari manfiy bo'lmasligi kerak. Demak: (13)-(15) munosabatlar birgalikda berilgan transport masalasining matemaatik modelini ifodalaydi.

Nazorat uchun savollar

1.Matematik programmalashtirish predmeti.

2. Matematik programmalashtirishning tarkibiy qismlari.

3. Matematik modellarni tuzishda tenglama va tengsizliklar qanday ko'rinishlarda bo'ladi.

4. Maqsad fnksiya deganda nimani tushunasiz?

5. Cheklanish shartlari nima?

6. Eng sodda iqtisodiy masalalarga matematik modellarini qurish va uni izohlang.

Adabiyotlar

1. T.X.Xolmatov, X.S. Umarov Kurilishni boshkarishda iktisodiymatematik usullar. O’quv qo'llanma, Samarqand 2004 y.196 bet. 2. M.Atxamov, G.Otaboev Planlashtirishda matematik metodlarni qo'llanilishi. Toshkent.O’kituvchi 1982 y.

3. Yu.N.Kuznesov i.dr. Matematicheskoe programmirovanie. M. Visshaya shkola 1976 g. 4.I.G.Shepelev «Matematicheskie metodi i modeli upravleniya v stroitelistve» M: Visshaya shkola, 1980 g.

5. Shodiev T.Sh. va boshq. «Ekonomika» Toshkent ,Sharq kond. 1999 y.